Grundlagen der Analysis ¨Ubungsblatt 6 (2+2+2=6 Punkte) (1+2+2+

UNIVERSITÄT KOBLENZ LANDAU
INSTITUT FÜR MATHEMATIK
Dr. Dominik Faas
Grundlagen der Analysis
Sommersemester 2010
Übungsblatt 6
Aufgabe 22 (vorbereitend zur Vorlesung am 20.05.2010)
Es seien (ak )k∈N∗ und (a˜k )k∈N∗ zwei Folgen und sn =
n
P
(2+2+2=6 Punkte)
ak und s˜n =
n
P
a˜k (für n ∈ N)
k=1
k=1
die zugehörigen Partialsummen.
(a) Gelte ak ≥ 0 (k ∈ N∗ ). Was bedeutet das für die Folge (sn )n ? Ergänzen Sie nun
sinnvoll:
∞
X
definitionsgemäß
Die Reihe
ak ist konvergent.
⇔
Die Folge (sn )n ist . . .
k=1
2.22 und 2.25
⇔
Die Folge (sn )n ist . . .
(b) Es gelte nun 0 ≤ ak ≤ ãk (k ∈ N∗ ). Benutzen Sie das Ergebnis aus (a), um einen
∞
P
Zusammenhang zwischen der Konvergenz der Reihe
ak und der Konvergenz der
Reihe
∞
P
k=1
a˜k zu erschließen (drücken Sie diesen in einem ’Wenn ... dann ...’ -Satz aus).
k=1
(c) Die Reihe
∞
P
k=1
1
k(k+1)
ist konvergent (siehe 3.7 in der Vorlesung). Schließen Sie mit (b)
auf die Konvergenz der Reihe
∞
P
auf die Konvergenz der Reihe
k=1
∞
P
k=1
1
2k2
und dann mit einem Hilfssatz aus der Vorlesung
1
.
k2
Aufgabe 23 (vorbereitend zur Vorlesung am 31.05.2010)
(1+2+2+1=6 Punkte)
(a) Schreiben Sie
0.111111 = 0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001 + 0.00001 + 0.000001
mit dem Summenzeichen.
(b) Schreiben Sie 0.1 = 0.111 . . . als unendliche Reihe. Berechnen Sie die Partialsummen
(geometrische Summenformel). Zeigen Sie, dass die Reihe konvergiert und berechnen
Sie den Reihenwert (als Bruch).
(c) Schreiben Sie analog 0.9 als Reihe, zeigen Sie die Konvergenz und berechnen Sie den
Reihenwert.
∞
P
ak
(d) Kann man jede reelle Zahl x ∈ [0, 1] als Reihe
mit ak ∈ {0, . . . , 9} darstellen
10k
k=1
(Vermutung)?
Aufgabe 24 (Übungsaufgabe, Abgabe am 31.05.2010) (1.5+1.5+1.5+1.5=6 Punkte)
Überprüfen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und berechnen Sie gegebenenfalls
den Reihenwert:
∞ k
∞
∞ ∞
X
X
X
X
1
1
k
k+1
1
1
k
√
(i)
, (ii)
, (iv)
(−1)
+
, (iii)
−√
3
k2 + k − 2
k 2 (k + 3)2
k+1
k+2
k=3
k=2
k=0
k=1
Aufgabe 25 (Übungsaufgabe, Abgabe am 31.05.2010)
(2+2+2=6 Punkte)
(a) Beweisen Sie: Sind ([an , bn ])n∈N und ([a0n , b0n ])n∈N zwei Intervallschachtelungen, so ist
([an + a0n , bn + b0n ])n∈N ebenfalls eine Intervallschachtelung. Sind zusätzlich a0 ≥ 0
und a00 ≥ 0, so ist ([an · a0n , bn · b0n ])n∈N eine weitere Intervallschachtelung.
(b) Geben Sie die ersten 5 Intervalle I0 , . . . , I4 einer Intervallschachtelung (In )n an, für
√
√
k
kn +1
n
die 2 + 5 ∈ In (n ∈ N) ist. Dabei soll In = 10
mit geeigneten natürlichen
n ,
10n
Zahlen kn ∈ N sein.
(c) Geben Sie die ersten 4 Intervalle J0 , . . . , J4 einer Intervallschachtelung (Jn )n an, für
√
mn +1
n
die 5 700 ∈ Jn (n ∈ N) ist. Dabei soll Jn = m
mit geeigneten natürlichen
3n ,
3n
Zahlen mn ∈ N sein.
Aufgabe 26 (Zusatzaufgabe, Abgabe am 31.05.2010)
(4∗ Punkte)
Sei q ∈ R mit |q| < 1. Vereinfachen Sie
(1 − q) ·
n
X
kq k
(n ∈ N),
k=0
indem Sie ausmultiplizieren, eine geeignete Indexverschiebung durchführen und die geon
P
kq k auf.
metrische Summenformel verwenden. Lösen Sie die erhaltene Gleichung nach
Zeigen Sie dann, dass die Reihe
∞
P
k=0
kq k
konvergiert und berechnen Sie den Reihenwert.
k=0
Diese Übungsblätter finden sie auch unter
http://www.uni-koblenz-landau.de/landau/fb7/mathematik/team/dominik-faas/material