9. ¨Ubungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik I für biw/ciw/mach
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Gruppe Universität Karlsruhe (TH) Institut für Algebra und Geometrie PD Dr. F. Hettlich Dipl.-Math.techn. S. Ritterbusch Dipl.-Math.techn. A. Schkarbanenko 41 42 43 44 P 45 Karlsruhe, den 7.01.2008 Matrikel-Nr.: ................... Matrikel-Nr.: ................... 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik I für biw/ciw/mach/mage/vt Aufgabe 41: Prüfen Sie jeweils mit dem Quotienten-, Wurzel- und dem Majoranten-/Minorantenkriterium nach, ob die folgenden Reihen konvergieren oder divergieren. Ã∞ ! Ã∞ ! ! Ã∞ X X 1 X k 1 (a) , (b) . , (c) k(k + 1) kk 2k + 1 k=1 k=1 k=0 Aufgabe 42: Geben Sie zu den Reihen Ã∞ µ Ã∞ ! ¶k ! ´ X X³ √ √ √ 2 (a) , (b) 2 k−4 k+1+2 k+2 , 2 + 3i k=0 k=0 à (c) ∞ X k=3 8k (k 2 − 1)2 ! eine allgemeine Darstellung für die jeweils n-te Partialsumme sn an und untersuchen Sie die Reihen auf Konvergenz oder Divergenz. Ã∞ ! X kk +1 (−1) Aufgabe 43: Zeigen Sie, dass die Reihe absolut konvergiert. Beweisen Sie anschließend für 2k k=0 die Partialsummen sn der Reihe durch vollständige Induktion die Darstellung µ ¶ 3n + 5 1 4 + (−1)n , n = 0, 1, 2, . . . , sn = 9 2n und nutzen Sie dieses Resultat zur Gewinnung des Grenzwerts s der Reihe. µ Aufgabe 44: Untersuchen Sie die Reihe ¶ ∞ P n+1 (−1) n=1 an auf Konvergenz und absolute Konvergenz, wenn q n (a) an = n , 2 (b) an = n+ n 1 n . Geben Sie im Konvergenzfall einen Index N an, so daß die Partialsummen sn , n ≥ N , um höchstens 10−2 vom Grenzwert abweichen. Aufgabe 45: (a) Zeigen Sie, dass die Reihe à ∞ X k (−1)k+1 2 k −1 ! k=2 konvergiert, aber nicht absolut konvergiert. (b) Bestimmen Sie eine Zahl N ∈ N so, dass jede Partialsumme sn = n X k=2 um höchstens 1 10 (−1)k+1 k , k2 − 1 vom Grenzwert der Reihe abweicht, falls n ≥ N ist. Abgabetermin: Donnerstag, den 17.01.2008, 13:00 Uhr, in den Fächern bei Zimmer 208.1 im Mathematikgebäude. 9. Tutorium zur Vorlesung Höhere Mathematik I für biw/ciw/mach/mage/vt Aufgabe T33: Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvegrenz. ! Ã∞ Ã∞ µ ! X 2n n! X 3 + 4i ¶n , (c) (a) , 6 nn n=1 n=0 à (b) ∞ X n2 (n + 1)2 n! n=1 ! à , (d) √ ! ∞ X n+7 n . n3 − n n=8 Aufgabe T34: Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz: Ã∞ ! Ã∞ · ¸! X (−1)k X k cos(kπ) k (b) . (a) (−1) 2 − k + 2k + 1 k+3 k+2 k=1 k=1 Bestimmen Sie für die Reihe in (a) eine Zahl N ∈ N so, dass jede Partialsumme sn um höchstens Grenzwert der Reihe abweicht, falls n ≥ N ist. µ Aufgabe T35: Zeigen Sie, daß die Reihe so, daß 4(k+1) k2 (k+2)2 c1 k2 + c2 (k+2)2 vom ¶ ∞ P k=1 = 1 8 4(k+1) k2 (k+2)2 konvergiert. Bestimmen Sie ferner zwei Zahlen c1 , c2 für alle k ∈ N gilt. Berechnen Sie damit den Grenzwert der Reihe. à Aufgabe T36: Gegeben sei die Reihe ∞ X ! an mit n=0 −1 2n an = 1 4n f ür n gerade f ür n ungerade (a) Zeigen Sie mit dem Majorantenkriterium die absolute Konvergenz der Reihe. (b) Zeigen Sie: Das Wurzelkriterium liefert auch die absolute Konvergenz der Reihe; mit dem Quotientenkriterium ist keine Aussage möglich. (c) Schreiben Sie die Reihe als Summe von zwei geeigneten Reihen und berechnen Sie damit ihren Wert. Tutorien: Montag, den 14.01.2008, bis Mittwoch, den 16.01.2008.
