Inhaltsverzeichnis
Werbung
Inhaltsverzeichnis 1 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion 1 1.1 1.2 1.3 Vollständige Induktion ................................................................. Fakultät und Binomialkoeffizienten............................................. Aufgaben...................................................................................... 1 2 5 2 Reelle Zahlen 7 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Die Körperstruktur von R ............................................................. Die Anordnung von R ................................................................... Die Vollständigkeit von R ............................................................. R ist nicht ab zäh lb ar.................................... Aufgaben.......................................................................................... 7 8 10 16 18 3 Komplexe Zahlen 20 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Der Körper der komplexen Zahlen............................................... Die komplexe Zahlenebene...................................................... Algebraische Gleichungen in € .................................................... Die Unmöglichkeit einer Anordnung von C ................................ Aufgaben.......................................................................................... 20 22 24 26 26 4 Funktionen 28 4.1 4.2 4.3 4.4 Grundbegriffe ................................................................................. Polynome ........................................................................................ Rationale Funktionen.................................................................... Aufgaben.......................................................................................... 28 32 35 39 5 Folgen 41 5.1 5.2 5.3 5.4 Konvergenz von Folgen....................................................... Rechenregeln.............................. Monotone Folgen............................................................................ Eine Rekursionsfolge zur Berechnung von Quadratwurzeln__ 41 43 46 48 5.5 5.6 5.7 5.8 Der Satz von Bolzano-Weierstraß................................................. Das Konvergenzkriterium von Bolzano-Cauchy. Nochmals die Vollständigkeit von IR ........................................... Uneigentliche Konvergenz............................................................. Aufgaben.......................................................................................... 52 54 56 6 Reihen 59 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 Konvergenz von R eih en ................................................................. Konvergenzkriterien........................................................................ Summierbare Fam ilien................................................................... Potenzreihen................................................................................... Aufgaben.......................................................................................... 59 61 66 74 77 7 Stetige Funktionen. Grenzwerte 80 7.1 7.2 7.3 Stetigkeit.......................................................................................... 80 Rechnen mit stetigen Funktionen................................................. 83 Erzeugung stetiger Funktionen durch normal konvergente R eihen.............................................................................................. 84 Stetige reelle Funktionen auf Intervallen. Der Zwischenwertsatz..................................................................... 86 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen. Der Satz vom Maximum und Minimum...................................... 88 Anwendung: Beweis des Fundamentalsatzes der A lgebra......... 92 Stetige Fortsetzung. Grenzwerte von Funktionen...................... 93 Einseitige Grenzwerte. Uneigentliche Grenzwerte...................... 97 Aufgaben.......................................................................................... 100 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8 8.1 8.2 8.3 8.4 Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen Definition der Exponentialfunktion............................................. Die Exponentialfunktion für reelle Argumente........................... Der natürliche Logarithm us.......................................................... Exponentialfunktionen zu allgemeinen Basen. Allgemeine Potenzen...................................................................... 8.5 Binomialreihen und Logarithmusreihe ........................................ 8.6 Definition der trigonometrischen Funktionen............................. 8.7 Nullstellen und P erio d izität.......................................................... 8.8 Die Arcus-Funktionen.................................................................... 8.9 Polarkoordinaten komplexer Zahlen............................................. 8.10 Geometrie der Exponentialabbildung. Hauptzweig des komplexen Logarithmus und des Arcustangens......................... 50 103 103 107 110 112 114 117 119 122 123 125 8.11 Die Zahl Ti .................................... 8.12 Die hyperbolischen Funktionen.................................. 8.13 Aufgaben................ 129 131 133 9 137 Differentialrechnung 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 Die Ableitung einer Funktion........................................................ Ableitungsregeln............................................................................. Mittelwertsatz und Schrankensatz............................................... Beispiele und Anwendungen......................................................... Reihen differenzierbarer Funktionen ........................................... Ableitungen höherer O rdnung...................................................... Konvexität ....................................................................................... Konvexe Funktionen und Ungleichungen.................................... Fast überall differenzierbare Funktionen. Verallgemeinerter Schrankensatz.................................................. 9.10 Der Begriff der Stammfunktion.................................................... 9.11 Eine auf ganz R stetige, nirgends differenzierbare Funktion ... 9.12 Aufgaben.......................................................................................... 163 166 168 169 10 Lineare Differentialgleichungen 173 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 Eindeutigkeitssatz und Dimensionsabschätzung................... Ein Fundamentalsystem für die homogene Gleichung.............. Partikuläre Lösungen bei speziellen Inhomogenitäten.............. Anwendung auf Schwingungsprobleme........................................ Partikuläre Lösungen bei allgemeinen Inhomogenitäten........... Erweiterung des Lösungsbegriffes................................................. Aufgaben.......................................................................................... 173 176 180 182 185 187 189 11 Integralrechnung 191 11.1 11.2 11.3 11.4 Treppenfunktionen und ihre Integration .................................... Regelfunktionen............................................................................. Integration der Regelfunktionen über kompakte Intervalle__ Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Stammfunktionen zu Regelfunktionen......................................... Erste Anwendungen........................................................................ Integration elementarer Funktionen.............. Integration normal konvergenter Reihen ............ Riemannsche Sum m en................................................................... Integration über nicht kompakte Intervalle................................ Die Eulersche Summationsformel................................................. Aufgaben.......................................................................................... 191 193 196 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 11.10 11.11 137 141 144 147 152 154 157 160 199 206 208 214 216 218 223 229 12 Geometrie differenzierbarer Kurven 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8 12.9 233 Parametrisierte Kurven. Grundbegriffe........................................ Die Bogenlänge............................................................................... Parameterwechsel............................................................................ Krümmung ebener K urven............................................................ Die Sektorfläche ebener K u rv e n .................................................. Kurven in Polarkoordinaten.......................................................... Liftung und Windungzahlen.......................................................... Noch ein Beweis des Fundamentalsatzes der A lg eb ra.............. Geometrie der Planetenbewegung. Die drei Keplerschen Gesetze................ 12.10 Aufgaben.......................................................................................... 256 258 13 262 Elementar integrierbare Differentialgleichungen 13.1 Wachstumsmodelle. Lineare und Bernoullische Gleichungen ... 13.2 Differentialgleichungen mit getrennten Veränderlichen............. 13.3 Nicht-lineare Schwingungen. Die Differentialgleichung x —f ( x ) ............................................... 13.4 Aufgaben.......................................................................................... 14 Lokale Approximation von Funktionen. Taylorpolynome und Taylorreihen 14.1 Approximation durch Taylorpolynome........................................ 14.2 Taylorreihen. Rechnen mit Potenzreihen.................................... 14.3 Bernoulli-Zahlen und Cotangensreihe. Bernoulli-Polynome........................................................................ 14.4 Das Newton-Verfahren................................................................... 14.5 Aufgaben.......................................................................................... 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 Globale Approximation von Funktionen. Gleichmäßige Konvergenz Gleichmäßige Konvergenz.................................................. Vertauschungssätze........................................................................ Kriterien für gleichmäßige Konvergenz........................................ Anwendung: die Eulerschen Formeln für £(2n) ......................... Approximation durch Faltung mit Dirac-Folgen....................... Lokal gleichmäßige Konvergenz. Der Überdeckungssatz von Heine-Borel...................................... 15.7 Der Approximationssatz von Stone ........................................... 15.8 Aufgaben................................................ 233 238 242 243 246 249 252 255 262 266 273 279 282 282 286 289 292 298 300 300 303 305 309 310 314 316 319 16 Approximation periodischer Funktionen. Fourierreihen 321 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 321 325 329 332 334 16.8 16.9 16.10 16.11 Der Approximationssatz von F ejer............................................... Definition der Fourierreihen. Erste Beispiele und Anwendungen Punktweise Konvergenz nach D irichlet........................................ Ein Beispiel von Fejer.................................................................... Die Besselsche Approximation periodischer Funktionen........... Fourierreihen stückweise stetig differenzierbarer Funktionen....................................................................................... Konvergenz im quadratischen Mittel. Die Parsevalsche Gleichung........................................................... Anwendung: das isoperimetrische Problem ................................ Wärmeleitung in einem Ring. Die Thetafunktion...................... Die Poissonsche Summenformel .................................................. Aufgaben.......................................................................................... 339 342 343 347 349 17 Die Gammafunktion 351 16.7 336 17.1 Die Gammafunktion nach G a u ß .................................................. 17.2 Der Eindeutigkeitssatz der Gammafunktion von Bohr und Mollerup. Die Eulersche Integraldarstellung................... 17.3 Die Stirlingsche Formel ................................................................. 17.4 Aufgaben.......................................................................................... 351 355 357 360 Biographische Notiz zu Euler 361 Lösungen zu den Aufgaben 362 Literatur 403 Bezeichnungen 404 Namen- und Sachverzeichnis 406
