Analysis 1
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Konrad Königsberger Analysis 1 Fünfte, neu bearbeitete Auflage mit 161 Abbildungen und 250 Aufgaben samt ausgearbeiteten Lösungen Springer Inhaltsverzeichnis 1 1.1 1.2 1.3 J Natürliche Zahlen und vollständige Induktion Vollständige Induktion Fakultät und Binomialkoeffizienten Aufgaben 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Reelle Zahlen Die Körperstruktur von R Die Anordnung von R Die Vollständigkeit von R R ist nicht abzählbar Aufgaben' 1 1 2 5 U 7 7 8 10 16 18 '. \j 3 - 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Komplexe Zahlen Der Körper der komplexen Zahlen Die komplexe Zahlenebene Algebraische Gleichungen in C Die Unmöglichkeit einer Anordnung von C Aufgaben 20 20 22 24 26 26 4 Funktionen 28 4.1 4.2 4.3 4.4 Grundbegriffe Polynome Rationale Funktionen Aufgaben 28 32 35 39 5 Folgen / 41 5.1 5.2 5.3 5.4 Konvergenz von Folgen Rechenregeln Monotone Folgen Eine Rekursionsfolge zur Berechnung von Quadratwurzeln ..... 41 43 46 48 ^ X 5.5 5.6 Inhaltsverzeichnis 5.7 5.8 Der Satz von Bolzano-Weierstraß Das Konvergenzkriterium von Bolzano-Cauchy. Nochmals die Vollständigkeit von R Uneigentliche Konvergenz Aufgaben 52 54 56 6 eilten Reitien 59 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 Konvergenz von Reihen Konvergenzkriterien Summierbare Familien Potenzreihen Aufgaben 59 61 66 74 77 7 Stetige Punktionen. Grenzwerte 80 7.1 7.2 7.3 Stetigkeit Rechnen mit stetigen Funktionen Erzeugung stetiger Funktionen durch normal konvergente Reihen Stetige reelle Funktionen auf Intervallen. Der Zwischenwertsatz Stetige Funktionen auf kompakten Mengen. Der Satz vom Maximum und Minimum Anwendung: Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra Stetige Fortsetzung. Grenzwerte von Funktionen Einseitige Grenzwerte. Uneigentliche Grenzwerte Aufgaben 80 83 88 92 93 97 100 Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen 103 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8 8.1 8.2 8.3 8.4 Definition der Exponentialfunktion Die Exponentialfunktion für reelle Argumente Der natürliche Logarithmus Exponentialfunktionen zu allgemeinen Basen. Allgemeine Potenzen 8.5 Binomialreihen und Logarithmusreihe 8.6 Definition der trigonometrischen Funktionen 8.7 Nullstellen und Periodizität 8.8 Die Arcus-Funktionen 8.9 Polarkoordinaten komplexer Zahlen 8.10 Geometrie der Exponentialabbildung. Hauptzweig des komplexen Logarithmus und des Arcustangens : — .• 50 84 86 103 107 : . . . 110 112 $.'... 114 117 119 122 123 125 Inhaltsverzeichnis XI 8.11 Die Zahl TT 8.12 Die hyperbolischen Funktionen 8.13 Aufgaben 129 131 133 J 9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 Differentialrechnung Die Ableitung einer Funktion Ableitungsregeln . Mittelwertsatz und Schrankensatz Beispiele und Anwendungen Reihen differenzierbarer Funktionen Ableitungen höherer Ordnung Konvexität Konvexe Funktionen und Ungleichungen Fast überall differenzierbare Funktionen. Verallgemeinerter Schrankensatz 9.10 Der Begriff der Stammfunktion 9.11 Eine auf ganz R stetige, nirgends differenzierbare Funktion . . . 9.12 Aufgaben ;..... 163 166 168 169 10 Lineare Differentialgleichungen 173 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 Eindeutigkeitssatz und Dimensionsabschätzung Ein Fundamentalsystem für die homogene Gleichung Partikuläre Lösungen bei speziellen Inhomogenitäten Anwendung auf Schwingungsprobleme Partikuläre Lösungen bei allgemeinen Inhomogenitäten Erweiterung des Lösungsbegriffes • Aufgaben »:.-...: 173 176 180 182 185 187 189 11 Integralrechnung 191 11.1 11.2 11.3 11.4 Treppenfunktionen und ihre Integration Regelfunktionen Integration der Regelfunktionen über kompakte Intervalle Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Stammfunktionen zu Regelfunktionen 11.5 Erste Anwendungen ry... 11.6 Integration elementarer Funktionen 11.7 Integration normal konvergenter Reihen ' 11.8 Riemannsche Summen 11.9 Integration über nicht kompakte Intervalle .' 11.10 Die Eulersche Summationsformel 11.11 Aufgaben 137 137 141 144 147 152 154 157 160 191 193 196 199 206 208 214 216 218 223 229 XII 12 Inhaltsverzeichnis Geometrie differenzierbarer Kurven 233 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 .12.6 12.7 12.8 12.9 Parametrisierte Kurven. Grundbegriffe Die Bogenlänge Parameterwechsel Krümmung ebener Kurven Die Sektorfläche ebener Kurven Kurven in Polarkoordinaten ; Liftung und Windungzahlen Noch ein Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra Geometrie der Planetenbewegung. Die drei Keplerschen Gesetze 12.10 Aufgaben 233 238 242' 243 246 249 252 255 13 262 256 258 Elementar integrierbare Differentialgleichungen 13.1 Wachstumsmodelle. Lineare und Bernoullische Gleichungen . . . 13.2 Differentialgleichungen mit getrennten Veränderlichen 13.3 Nicht-lineare Schwingungen. Die Differentialgleichung x = f(x) 13.4 Aufgaben 14 Lokale Approximation von Funktionen. Taylorpolynome und Taylorreihen 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 282 286 289 292 298 Globale Approximation von Funktionen. Gleichmäßige Konvergenz Gleichmäßige Konvergenz ' Vertauschungssätze Kriterien für gleichmäßige Konvergenz Anwendung: die Eulerschen Formeln für C(2n) Approximation durch Faltung mit Dirac-Folgen Lokal gleichmäßige Konvergenz. Der Überdeckungssatz von Heine-Borel 15.7 Der Approximationssatz von Stone 15.8 Aufgaben .v 273 279 282 14.1 Approximation durch Taylorpolynome 14.2 Taylorreihen. Rechnen mit Potenzreihen 14.3 Bernoulli-Zahlen und Cotangensreihe.' Bernoulli-Polynome 14.4 Das Newton-Verfahren 14.5 Aufgaben 15 262 266 300 Q 300 303 305 309 310 314 316 319 Inhaltsverzeichnis XIII 16 321 Approximation periodischer Funktionen. Fourierreihen 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 Der Approximationssatz von Fejer Definition der Fourierreihen. Erste Beispiele und Anwendungen Punktweise Konvergenz nach Dirichlet Ein Beispiel von Fejer Die Besselsche Approximation periodischer Funktionen Fourierreihen stückweise stetig differenzierbarer Funktionen 16.7 Konvergenz im quadratischen Mittel. Die Parsevalsche Gleichung 16.8 Anwendung: das isoperimetrische Problem 16.9 Wärmeleitung in einem Ring. Die Thetafunktion 16.10 Die Poissonsche Summenformel 16.11 Aufgaben 321 325' 329 332 334 17 351 Die Gammafunktion 336 339 342 343 347 349 17.1 Die Gammafunktion nach Gauß 17.2 Der Eindeutigkeitssatz der Gammafunktion von Bohr und Mollerup. Die Eulersche Integraldarstellung 17.3 Die Stirlingsche Formel 17.4 Aufgaben 351 355 357 360 Biographische Notiz zu Euler 361 Lösungen zu den Aufgaben 362 Literatur 403 Bezeichnungen 404 Namen- und Sachverzeichnis 406
