Lösungen

Lösungen
Zusatzaufgabe
Hier ist eine Aufgabe zur Wiederholung der unendlichen Produkträume, der Terminalität
sowie des Lemmas von Borel-Cantelli, eingebettet in eine MG-Aufgabe. Auch in (b)(ii)
taucht das Lemma von BC implizit nocheinmal auf, da mit diesem der Satz 5.6 bewiesen
wurde.
(a) Nach Aufgabenstellung gilt An = σ(X1 , . . . , Xn ) ⊂ σ(X1 , . . . , Xn+1 ) = An+1 und
somit ∪m≥n Am = σ(X1 , X2 , . . . ) für alle n ∈ N . Es folgt
Tn = σ(X1 , X2 , . . . )
für alle n ∈ N und damit ist T∞ = σ(X1 , X2 , . . . ) die terminale σ-Algebra. Da T∞
von der ganzen Folge erzeugt wird, sind die angegebenen Mengen trivialer Weise
messbar.
Eigentlich war die Aufgabe für die σ-Algebren An = σ(Xn ) gedacht. Hier die dazu
gehörige Lösung: Es ist
{Xn = 0 u.o.} = lim sup{Xn = 0} ∈ T∞
n→∞
für die terminale σ-Algebra T∞ bzgl. der (Xn )n≥0 und
X
Xn < ∞ = {Xn = 0 für alle bis auf endlich viele n}
n≥0
= lim inf {Xn = 0}
n→∞
c
= lim sup{Xn > 0}
n→∞
∈ T∞ .
Die Wahrscheinlichkeit bestimmen wir mit dem Lemma von Borel-Cantelli. Es ist
nämlich
P(Xn = 0) = P(ωn > α) = λ((α, 1)) = 1 − α
und damit
X
P(Xn = 0) = ∞.
n≥0
Da die (Xn )n≥0 unabhängig sind, erhalten wir P(Xn = 0 u.o.) = 1.
Q
(b) Da Yn = ni=1 Xn und EXn = P(Xn = 1) = α erhalten wird
Yn+1 Yn
Yn
Xn+1 Yn
E
= nE
αn+1 αn
α
α αn
Xn+1
Yn
= nE
α
α
1
=
Yn
αn
f.s.
Da die Messbarkeit klar ist, ist αYnn n≥0 also wie behauptet ein MG. Die fast sichere
Konvergenz gegen 0 folgt dann direkt aus (a), da
Yn
→ 0 ⊃ {Xn = 0 für ein n} ⊃ {Xn = 0 u.o.},
αn
und letzteres Wkeit 1 besitzt. Um die Konvergenz aus Satz 5.6 des StochastikSkriptes zu folgern, müssen wir
X Yn
>ε <∞
P
αn
n≥1
für alle ε > 0 zeigen. Da aber
Yn
> ε ≤ P (Yn > 0)
P
αn
= P (Xi > 0 für alle 1 ≤ i ≤ n)
n
Y
=
P (Xi > 0)
=
i=1
n
Y
P (Xi = 1)
i=1
=
n
Y
α
i=1
= αn ,
ist
X
X Yn
P
>
ε
≤
αn < ∞.
n
α
n≥1
n≥1
2