Blatt 2 Wahrscheinlichkeitstheorie WS 2009/10

Blatt 2
Wahrscheinlichkeitstheorie
WS 2009/10
Aufgabe 5 (Präsenzaufgabe).
Zeigen Sie die folgenden Relationen:
a) P (A4B) = P (A) + P (B) − 2P (A ∩ B)
b) |P (A) − P (B)| ≤ P (A4B)
c) P (A4C) ≤ P (A4B) + P (B4C)
Hinweis: Die symmetrische Differenz zweier Mengen A und B ist definiert durch A4B =
(A \ B) ∪ (B \ A).
Aufgabe 6 (Votieraufgabe). Sei Ω = (−100, 100]. Betrachten Sie die Menge B := {(a, b] |
a, b ∈ Ω} der halboffenen Intervalle. Sei nun die Menge der endlichen Vereinigungen von Elementen aus B wie folgt definiert
n
A := A ∈ P(Ω) |
mit A = ∪j=1 Aj
∃
A1 ,...,An ∈B
Handelt es sich bei A um eine σ-Algebra?
Aufgabe 7 (Votieraufgabe). Bei einem Experiment mit einem (sechsseitigen) Würfel würfelt
man mehrfach und addiert die geworfenen Augenzahlen, bis erstmals eine Augensumme größer
als 18 erreicht ist. Welche Augensumme tritt bei der Beendigung des Würfelns mit der größten
Wahrscheinlichkeit auf?
Hinweis: Zur Lösung der Aufgabe ist keine Berechnung von Wahrscheinlichkeiten erforderlich.
Aufgabe 8 (Votieraufgabe). Zeigen Sie, dass der Schnitt zweier σ-Algebren wieder eine
σ-Algebra ergibt.
Aufgabe 9 (Votieraufgabe). Zeigen Sie
P (lim inf An ) ≤ lim inf P (An ) ≤ lim sup P (An ) ≤ P (lim sup An )
T∞
T∞ S∞
S
wobei lim inf An = ∞
n=1
k=n Ak und lim sup An =
n=1
k=n Ak für eine Folge von Ereignissen
An aus einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P ).
Aufgabe 10 (Votieraufgabe). Sei {An | n ∈ N} eine Folge von Mengen. Zeigen Sie, dass
∞
∪∞
n=1 An = ∪n=1 Bn gilt, wobei B1 := A1 und
Bn := An \ ∪n−1
j=1 Aj
Zeigen Sie zusätzlich, dass die Mengen Bi paarweise disjunkt sind.
Vorlesung und Übungen: J. Dippon, Institut für Stochastik und Anwendungen, Universität Stuttgart, 0711-685-65384, e-mail [email protected]
Übungen: P.. Schnizler, Institut für Stochastik und Anwendungen, Universität Stuttgart, 0711-685-6 0711-685-65382, e-mail [email protected]