Blatt 1 - Mathematik - Universität Paderborn

Grundlagen der
Stochastik
Universität Paderborn
Institut f. Mathematik
G. Berschneider
SoSe 2013
Blatt 1
Hausaufgabe 1
Wir betrachten ein Zufallsexperiment bei dem ein vierseitiger Würfel (genauer: Tetraeder)
zweimal geworfen wird. Es bezeichne
A .. beim ersten Wurf erhalten wir eine Vier “
”
B .. beim zweiten Wurf erhalten wir eine Vier“
”
Geben Sie ein geeignetes Modell für die Ergebnismenge an und beschreiben Sie die Ereignisse
A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, A4B := (A \ B) ∪ (B \ A).
Welche Mengen werden durch die folgenden Ereignisse gegeben:
C .. die Augensumme beider Würfe ist 8“ D .. es wird keine Vier geworfen“
”
”
Hausaufgabe 2
In den Aufzug eines viergeschossigen Hauses steigen im Erdgeschoss vier Personen ein.
Jede Person steigt unabhängig von den anderen mit gleicher Wahrscheinlichkeit in einem
der drei oberen Stockwerke aus. Bestimmen Sie zunächst einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum. Beschreiben Sie die Ereignisse
Ak .. im k-ten Stockwerk steigt niemand aus“
”
und geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass der Aufzug in jedem Stockwerk anhalten
muss.
Hinweis: Einschluss-Ausschluss-Formel
Hausaufgabe 3 (Limes superior und Limes inferior von Mengenfolgen)
Wir geben uns eine beliebige Folge von Ereignissen (An )n∈N vor und definieren
lim inf An :=
n∈N
[ \
lim sup An :=
Ak ,
n∈N
n∈N k≥n
\ [
Ak .
n∈N k≥n
(a) Geben Sie eine Interpretation der Ereignisse lim supn∈N An und lim inf n∈N An .
(b) Zeigen Sie: lim sup Acn = (lim inf An )c und lim inf Acn = (lim sup An )c .
n∈N
n∈N
n∈N
n∈N
(c) Eine Münze werde unendlich oft geworfen. Geben Sie ein Modell für den Ergebnisraum und beschreiben Sie die folgenden Ereignisse als Teilmengen des Ergebnisraumes:
A .. es fällt unendlich oft Kopf“
”
B .. nach endlich vielen Würfen fällt nur noch Kopf“.
”
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Universität Paderborn
Institut f. Mathematik
Grundlagen der
Stochastik
G. Berschneider
SoSe 2013
Präsenzaufgabe 1
Beweisen Sie Korollar 2.1.3 aus der Vorlesung: Sei (Ω, p) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und P das von p induzierte Wahrscheinlichkeitsmaß. Dann gelten:
(a) P(∅) = 0;
(b) für paarweise disjunkte Ereignisse A1 , . . . , An gilt
!
n
n
[
X
P
Ak =
P(Ak );
k=1
k=1
(endliche Additivität);
(c) aus A ⊆ B folgt P(A) ≤ P(B); (Monotonie);
(d) aus A ⊆ B folgt P(B \ A) = P(B) − P(A); (Subtraktivität);
(e) P(Ac ) = 1 − P(A);
(f) P(A ∪ B) + P(A ∩ B) = P(A) + P(B);
(g) für eine beliebige Folge (An )n∈N von Ereignissen gilt
!
X
[
P(An );
P
An ≤
n∈N
n∈N
(σ-Subadditivität)
Präsenzaufgabe 2
Beim Schach kann ein Turm nur horizontal bzw. vertikal schlagen. Wie viele Möglichkeiten
gibt es, n gleichartige Türme auf einem Schachbrett mit n × n Feldern so zu platzieren,
dass kein Turm den anderen schlagen kann?
Präsenzaufgabe 3
Eine der Fragen, welche der Chevalier de Méré an Pascal und Fermat berichtet hat, ist die
folgende: Was ist wahrscheinlicher,
• beim viermaligen Werfen eines fairen Würfels mindestens einmal eine Sechs zu würfeln,
oder
• beim 24-maligen Werfen von zwei Würfeln mindestens einen Sechserpasch zu erhalten?
Geben Sie geeignete Modelle für die Zufallsexperimente an und berechnen Sie die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.
Abgabe der Hausaufgaben im grünen Postkasten mit der Nr. 112
(D1-Flur) bis spätestens Montag, den 15.04.2013, 13 Uhr.
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