Übungen Analysis I WS 03/04 - Bergische Universität Wuppertal

Bergische Universität Wuppertal
Fachbereich Mathematik
Übungen Analysis I
WS 03/04
Blatt 1
Abgabe: Mittwoch, 29.10.03
Aufgabe 1: Beweisen Sie, daß für jede natürliche Zahl n gilt:
n X
n i n−i
n
(a) (x + y) =
xy ,
i
i=0
(b)
n
X
ν=1
ν2 =
n(n + 1)(2n + 1)
,
6
(c) 23n − 1 ist durch 7 teilbar.
Aufgabe 2: Berechnen Sie für natürliche Zahlen m und n:
(a)
n
X
mi ,
i=0
(b)
m X
n
X
2i+j .
i=0 j=0
Aufgabe 3: Es seien X, Y, Z Mengen und f : X → Y und g : Y → Z Abbildungen.
Beweisen oder widerlegen Sie:
(a) Sei g ◦ f injektiv. Dann ist
a1) f injektiv;
a2) g injektiv.
(b) Sei g ◦ f surjektiv. Dann ist
b1) f surjektiv;
b2) g surjektiv.
Aufgabe 4: Es sei X eine nichtleere Menge, und f, g : X → X seien Abbildungen mit
g ◦ f = idX . Zeigen Sie:
(a) f ist injektiv und g ist surjektiv.
(b) Ist X endlich, so sind f und g bijektiv.
(c) Finden Sie Abbildungen f, g : N → N mit folgenden Eigenschaften: f ist nicht
surjektiv, g ist nicht injektiv und g ◦ f = idN .
Die Übungsblätter sind im Netz: www.math.uni-wuppertal.de/∼schuster/analysisI/
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Fachbereich Mathematik
Übungen Analysis I
WS 03/04
Blatt 2
Abgabe: Mittwoch, 5.11.03
Aufgabe 1:
(a) Sei S(k, n) :=
n
P
ik . Zeigen Sie durch Induktion über n:
i=0
k X
k+1
j=0
j
S(j, n) = (n + 1)k+1 .
(b) Berechnen Sie S(k, n) für k = 3, 4.
Aufgabe 2: Zeigen Sie: für je n reelle Zahlen a1 , a2 , . . . , an gelten die Ungleichungen
|a1 | − |a2 | − · · · − |an | ≤ |a1 + a2 + · · · + an | ≤ |a1 | + |a2 | + · · · + |an | .
Aufgabe 3: Für positive reelle Zahlen a, b seien das arithmetische, geometrische und
harmonische Mittel definiert durch
A(a, b) :=
a+b
,
2
G(a, b) :=
√
ab,
H(a, b) =
1
A( a1 , 1b )
=
2ab
.
a+b
Beweisen Sie die Ungleichungen H(a, b) ≤ G(a, b) ≤ A(a, b). Wann tritt Gleichheit ein?
√
(a) Zeigen Sie, daß 3 irrational ist.
√
?(b) Seien k, n ∈ N. Zeigen Sie: k n ist entweder eine natürliche Zahl oder irrational.
Aufgabe 4:
Aufgabe 5: Seien A und B beschränkte Teilmengen von R. Zeigen Sie:
(a)
sup(A ∪ B) = max{sup A, sup B} ,
inf(A ∪ B) = min{inf A, inf B} .
(b) Die Menge C := {x | x = y + z mit y ∈ A und z ∈ B} ist beschränkt und es gilt
sup C = sup A + sup B ,
inf C = inf A + inf B .
(c) Sei A ∩ B 6= ∅. Dann gelten die Ungleichungen
sup(A ∩ B) ≤ min{sup A, sup B} ,
inf(A ∩ B) ≥ max{inf A, inf B} .
Finden Sie Beispiele, in denen die Gleichheit nicht gilt.
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Fachbereich Mathematik
Übungen Analysis I
WS 03/04
Blatt 3
Abgabe: Mittwoch, 12.11.03
Aufgabe 1: Sei n ≥ 1 eine natürliche Zahl.
(a) Beweisen Sie die Ungleichung
n
X
1
< 3.
k!
k=0
(Hinweis: Vergleichen Sie k! mit 2k .)
(b) Zeigen Sie: für 0 ≤ k ≤ n gilt
n
1
1
· k ≤ .
k
n
k!
(c) Folgern Sie daraus die Ungleichungen
1≤
1
1+
n
n
≤
n
X
1
< 3.
k!
k=0
Aufgabe 2: Zeigen Sie, daß für jede reelle Zahl x ≥ 0 und jedes n ∈ N mit n ≥ 2 gilt:
(1 + x)n ≥
n2 2
x .
4
Aufgabe 3: Es seien a1 , . . . , an nichtnegative reelle Zahlen mit
n
P
ai = n. Zeigen Sie:
i=1
n
Y
ai ≤ 1 .
i=1
Aufgabe 4: Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil folgender komplexer Zahlen:
(a)
1
,
1 + 2i
(b)
2i + 3
,
1 − 5i
(c)
Aufgabe 5: Es seien a, z ∈ C mit |a| < 1. Zeigen Sie:
z−a 1 − az < 1 ⇐⇒ |z| < 1 .
1−i
1+i
k
, k ∈ Z.
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Fachbereich Mathematik
Übungen Analysis I
WS 03/04
Blatt 4
Abgabe: Mittwoch, 19.11.03
Aufgabe
Q 1: Seien ai , i ≥ 1, nichtnegative reelle Zahlen, und sei Sn =
Mn = ni=1 (1 + ai ). Zeigen Sie:
Pn
i=1 ai
sowie
(a) 1 + Sn ≤ Mn und Mn ≤ 1 + Mn Sn für jedes n ≥ 1.
(b) Konvergiert die Folge (Mn ), so konvergiert auch (Sn ).
(c) Konvergiert (Sn ) mit einem Grenzwert kleiner als 1, so ist auch (Mn ) konvergent.
∗(d) Ist die Voraussetzung lim Sn < 1 in (c) notwendig?
Aufgabe 2: Sei a > 0. Die Folge (an ) sei rekursiv definiert durch a0 = a sowie an+1 =
f (an ), wobei f (x) = x(1 + x)−1 .
(a) Zeigen Sie, daß (an ) konvergiert.
(b) Bestimmen Sie den Grenzwert.
Aufgabe 3: Untersuchen Sie die folgenden Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie
gegebenenfalls den Grenzwert.
(a) an = 2n · n−2
15n3 − 5n + 5
3
2
4n
1
q+ 13n + q
(c) an = n
1 + n1 − 1 − n1
(b) an =
(d) an = 1 +
(e) an =
∗(f) an =
2
1 n
n
p
n
n(n + 1) · · · (n + k), k ∈ N fest
√
n
n!
Aufgabe 4: Sei (an ) eine beschränkte Folge, und die Folgen (bn ), (cn ) seien definiert
durch bn := sup({am | m ≥ n}) sowie cn := inf({am | m ≥ n}. Zeigen Sie:
(a) Die Folgen (bn ) und (cn ) sind konvergent.
(b) Sei b := lim bn und c := lim cn . Dann ist b ≥ c.
(c) (an ) konvergiert genau dann, wenn b = c ist.
Aufgabe 5: Konstruieren Sie eine Nullfolge (xn ) und geeignete Folgen (an ), (bn ), (cn )
und (dn ), so daß gilt: (xn · an ) ist eine Nullfolge, (xn · bn ) konvergiert gegen 1, (xn · cn ) ist
unbeschränkt, und (xn · dn ) ist beschränkt, aber nicht konvergent.
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Fachbereich Mathematik
Übungen Analysis I
Blatt 5
WS 03/04
Abgabe: Mittwoch, 26.11.03
Aufgabe 1: Seien (an ) und (bn ) zwei Folgen mit an > bn > 0 für alle n ∈ N. Bezeichne
sn = an + bn , dn = an − bn und pn = an bn . Beweisen Sie: konvergieren zwei der drei
Folgen (sn ), (dn ), (pn ), so auch die dritte.
Aufgabe 2: Es sei (an ) eine monotone Folge. Beweisen Sie: jeder Häufungswert von (an )
ist auch Grenzwert.
Aufgabe 3: Für eine reelle Zahl x bezeichne bxc die eindeutig bestimmte ganze Zahl n
mit n ≤ x < n + 1. Die Folge (an (x)) sei definiert durch an (x) = nx − bnxc. Beweisen Sie:
(a) Ist x ∈ Q, so hat (an (x)) nur endlich viele Häufungswerte.
(b) Ist x 6∈ Q, so ist jede reelle Zahl a mit 0 ≤ a ≤ 1 Häufungswert der Folge.
Aufgabe 4: Sei n 7→ an eine Anordnung von Q. Zeigen Sie, daß jede reelle Zahl Häufungswert der Folge (an ) ist.
Aufgabe 5: Sei f : R → R eine Abbildung, so daß für ein C ∈ R mit 0 ≤ C < 1 gilt:
|f (x) − f (y)| ≤ C|x − y| für alle x, y ∈ R. Für a ∈ R sei die Folge (an ) definiert durch
a0 = a und an+1 = f (an ). Beweisen Sie:
(a) |an+1 − an | ≤ C n |a1 − a0 |.
(b) (an ) ist eine Cauchy-Folge.
(c) Sei z = lim an . Dann gilt f (z) = z.
(d) z ist unabhängig von a.
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Fachbereich Mathematik
Übungen Analysis I
WS 03/04
Blatt 6
Abgabe: Mittwoch, 3.12.03
Aufgabe 1: Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:
(a)
X√
√
( k + 1 − k)
X
(c)
k≥1
√
(b)
X
k≥1
k+1−
k
√
k≥1
k
−1
k(k + 1)(k + 2)
X
(d)
k≥0
k
2k + 1
k
Aufgabe 2: Sei (an ) eine reelle Folge. Beweisen Sie:
X
n
1
(a) Ist lim an = a, so folgt lim
ak = a. Die Umkehrung gilt nicht.
n
k=1
P
(b) Ist
an konvergent und (an ) monoton,
so ist lim(n · an ) = 0. Konstruieren Sie ein
P
Beispiel einer Folge (an ), so daß
an konvergiert, aber die Folge (n · an ) divergiert.
Aufgabe 3: Sei (a
wachsende Folge positiver reeller Zahlen. Beweisen
n ) eine monoton
X an+1
− 1 konvergiert genau dann, wenn (an ) beschränkt ist.
Sie: die Reihe
an
n≥1
Aufgabe 4: Sei (dn ) eine Folge positiver reeller Zahlen und
∞
P
dn = ∞. Was läßt sich
n=1
über die Konvergenz der folgenden Reihen aussagen?
(a)
X
dn
1 + dn
(c)
X
dn
1 + n2 d n
(b)
X
dn
1 + ndn
(d)
X
dn
1 + d2n
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Fachbereich Mathematik
Übungen Analysis I
WS 03/04
Blatt 7
Abgabe: Mittwoch, 10.12.03
Aufgabe 1: Sei (an ) eine Folge von Null verschiedener reeller Zahlen.
an+1 < 1, so konvergiert die Reihe P an .
(a) Zeigen Sie: Ist lim sup
an P
an+1
> 1, so divergiert die Reihe
an .
an
an+1 ≥ 1 und P an konvergent.
(c) Finden Sie ein Beispiel mit lim sup
an (b) Zeigen Sie: Ist lim inf
Aufgabe 2: Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz.
X n n2
(a)
n+1
n≥1
(b)
X 2n nn
n≥1
(c)
(n!)2
P an
, wobei an = 0 sei, falls die Dezimalschreibweise von n eine 9 enthält, und
n
an = 1 sonst.
Aufgabe 3:
(a) Berechnen Sie den Grenzwert der Reihe
X
n≥1
(b) Sei |q| < 1. Zeigen Sie, daß die Reihe
X
n2
1
.
+ 2n
(n + 1)q n konvergiert und bestimmen Sie
n≥0
den Grenzwert.
(c) Bestimmen Sie den Grenzwert der Reihe
X
n≥0
π 2 /6 benutzen.)
1
. (Sie können dabei ζ(2) =
(2n + 1)2
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Fachbereich Mathematik
Übungen Analysis I
WS 03/04
Blatt 8
Abgabe: Mittwoch, 17.12.03
Aufgabe 1: Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:
(a)
X (−2)n
n≥0
(b)
n+1
X 2n
n
n≥0
(c)
X
n≥0
(d)
X
1+
xn
x3n
1
1
1
+ + ··· +
xn
1! 2!
n!
n
2( 2 ) xn
n≥17
k
Aufgabe
X2: Sei k ∈ N+ und f (x) = 1 + x + · · · + x . Finden Sie eine Potenzreihe
g(x) =
an xn mit f (x)g(x) = 1 und bestimmen Sie den Konvergenzradius von g.
n≥0
Aufgabe 3: Seien E ⊂ D Teilmengen von R und f : D → R eine Funktion.
(a) Zeigen Sie: Ist x∗ ein Häufungspunkt von E, so ist x∗ auch Häufungspunkt von D.
(b) Sei x∗ ein Häufungspunkt von E. Zeigen Sie: Gilt lim f (x) = a, so auch x→x
lim f (x) = a.
x→x∗
∗
x∈E
(c) Finden Sie ein Beispiel mit lim f (x) 6= lim f (x)
x&x∗
x%x∗
Aufgabe 4: In welchen Punkten sind die folgenden Funktionen f : R → R stetig?
(
|x|−1 x für x 6= 0,
(a) f (x) =
0
für x = 0.


x + 3 für x < −1,



−2x für −1 ≤ x < 0,
(b) f (x) =
2x
für 0 ≤ x < 1,



4 − x für 1 ≤ x.
(
x
für x ∈ Q,
(c) f (x) =
1 − x für x ∈ R − Q.
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Übungen Analysis I
WS 03/04
Blatt 9
Abgabe: Mittwoch, 7.1.04
Aufgabe 1: Seien f, g : D → R stetige Funktionen. Zeigen Sie, daß dann auch max(f, g),
min(f, g) und |f | stetig sind.
Aufgabe 2: Formulieren Sie Definitionen der Aussagen lim f (x) = a für
x→x∗
(a) x∗ ∈ R, a = ±∞,
(b) x∗ = ±∞, a ∈ R,
(c) x∗ = ±∞, a = ±∞.
Aufgabe 3: Bestimmen Sie die (eventuell uneigentlichen) Grenzwerte
sin x
,
x→0 x
sin x
(b) lim
,
x→∞ x
sin x
(c) lim 3 ,
x→0 x
(a)
lim
(d)
(e)
(f)
ax + b
, c 6= 0,
x→∞ cx + d
lim
lim exp(− x12 ) ,
x→0
lim log(x) .
x→0
x
bildet R bijektiv auf ] − 1, 1[
1 + |x|
ab. Geben Sie die Umkehrfunktion ψ : ] − 1, 1[→ R an. Zeigen Sie, daß ϕ und ψ
stetig sind.
Aufgabe 4:
(a) Zeigen Sie: Die Funktion ϕ : x 7→
(b) Sei f : R → R eine Abbildung. Zeigen Sie:
lim f (x) = a ⇔
x→∞
lim f (x) = ∞ ⇔
x→x∗
lim f (ψ(y)) = a ,
y→1
lim ϕ(f (x)) = 1 .
x→x∗
Aufgabe 5: Sei f : [0, 1] → R eine stetige Funktion, die nur abzählbar viele Werte annimmt. Zeigen Sie: f ist konstant.
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Übungen Analysis I
Blatt 10
WS 03/04
Abgabe: Mittwoch, 14.1.04
Aufgabe 1: Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Differenzierbarkeit:
(a) f (x) = |x| und g(x) = x |x|;
(b) f (x) = x sin( x1 ) und g(x) = x2 sin( x1 ).
Aufgabe 2: Bestimmen Sie die maximalen Definitionsbereiche der folgenden Funktionen
und berechnen Sie ihre Ableitungen. Geben Sie in jedem Schritt die verwendete Ableitungsregel an.
(a) f (x) =
x
,
1 + x2
(d) f (x) = (x2 + 1)(x
(b) f (x) =
r
(e) f (x) = log(log(sin(x))) .
5
1
,
1+x
2 +1)
,
2
(c) f (x) = x7 ex ,
Aufgabe 3: Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen arcsin(x), arccos(x) und
arctan(x).
Aufgabe 4: Seien f, g : [a, b] → R differenzierbar. Zeigen Sie, daß es ein c ∈]a, b[ gibt mit
f 0 (c) g(b) − g(a) = g 0 (c) f (b) − f (a) .
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Übungen Analysis I
WS 03/04
Blatt 11
Abgabe: Mittwoch, 21.1.04
Aufgabe 1: (a) Seien f, g : [a, ∞[→ R differenzierbare Funktionen mit g 0 6= 0. Es gelte
lim f (x) = 0 = lim g(x) oder lim f (x) = ∞ = lim g(x). Zeigen Sie:
x→∞
x→∞
x→∞
x→∞
f 0 (x)
f (x)
= lim 0
,
x→∞ g(x)
x→∞ g (x)
lim
falls der rechts stehende Grenzwert existiert.
(b) Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
(log x)b
für a, b ∈ N+ ,
x→∞
xa
cosh(x + 1)
(ii) lim
.
x→∞
exp(x)
(i) lim
Aufgabe 2: Bestimmen Sie die Taylorreihen T (f ; a) der folgenden Funktionen. Geben
Sie zu jeder Reihe den Konvergenzradius an.
(a) f (x) = sin3 (x), a = 0.
q
1+x
(b) f (x) = log
1−x , a = 0.
(c) f (x) =
x
, a = 0.
1 + x − 2x2
(d) f (x) = sin(x), a = π/4.
Aufgabe 3: Bestimmen Sie die lokalen Extrema und Wendepunkte der Funktionen
(a) f (x) = x − sin2 (x),
(b) f (x) =
x
.
1 + x2
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Übungen Analysis I
WS 03/04
Blatt 12
Abgabe: Mittwoch, 28.1.04
Aufgabe 1: Beweisen Sie: Die Vorzeichen-Funktion sign : R → R hat keine Stammfunktion.
Aufgabe 2: Seien f, g : [a, b] → R mit |f | ≤ g. Zeigen Sie: Ist g integrierbar mit
Rb
a g(x)dx = 0, so sind auch f und |f | integrierbar und es gilt
Z
b
f (x)dx =
a
Z
b
|f (x)|dx = 0 .
a
[Hinweis: Zeigen Sie |S(f ; Z)| ≤ S(|f |; Z).]
Aufgabe 3: Finden Sie Stammfunktionen (mit maximalem Definitionsbereich) der folgenden Funktionen
(a)
2x3 − 6x + 7
√
2 x
(d)
(b) x3 cos(x4 )
(c)
x+2
x3 − x
x
cos2 (x)
(e) log |x|
∗(f)
Aufgabe 4: Bestimmen Sie den Wert des Integrals
Z
0
1
cos(x)
π/2
cosn (x)dx für n = 2, 4, 6.