Übungsblatt 8

MAT901 – Stochastik 1
Universität Zürich, Frühjahrsemester 2015
Prof. Benjamin Schlein
Übungsblatt 8
MAT901 – Stochastik 1
Abgabe am Montag 27. April 2015
(bis spätestens 17 Uhr)
Aufgabe 1: Asymptotische σ-Algebra (2+2+2+4 Punkte)
Sei (Xn )n≥1 eine Folge reelwertigen Zufallsvariablen.
a) Entscheiden Sie (mit Begründung) ob die folgenden Mengen in der asymptotischen
σ-Algebra Aasym (Xn : n ≥ 1) enthalten sind.
i) A1 := {Xn = 0 für alle n ∈ N};
ii) A2 := {supn Xn < 14};
iii) A3 := {
P∞
j=1
Xj2 < ∞}.
b) Nehmen Sie zusätzlich an, dass (Xn )n≥1 unabhängig sind. Sei Sn = X1 + · · · + Xn
und sei (αn )n∈N eine Folge positiver Zahlen, mit αn → ∞ für n → ∞. Zeigen Sie,
dass es c ∈ R ∪ {±∞} existiert, mit
P lim sup Sn /αn = c = 1
n→∞
Aufgabe 2: Fast sichere Konvergenz (10 Punkte)
Sei (ξn )n≥1 eine Folge unabhängiger exponentialverteilter Zufallsvariablen mit Parameter α (d.h. für alle n ∈ N, ξn hat eine absolut stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung auf
R mit der Dichte ρ(s) = αe−αs 1(s ≥ 0)). Beweisen Sie, dass
lim sup ξn / ln n = 1/α fast sicher.
n→∞
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MAT901 – Stochastik 1
Universität Zürich, Frühjahrsemester 2015
Prof. Benjamin Schlein
Aufgabe 3: Borel-Cantelli (10 Punkte)
Sei (Xk )k∈N eine Folge unabhängiger Zufallsvariablen, mit P(Xj = 1) = p und P(Xj =
−1) = 1 − p für ein p ∈ (0; 1). Für n, ` ∈ N, sei
A`n = {Xn = Xn+1 = · · · = Xn+`−1 = 1}
Ferner, sei
\ [
A` =
A`n
m≥1 n≥m
das Ereignis, dass es unendlich viele n ∈ N gibt so, dass Xn = Xn+1 = · · · = Xn+`−1 = 1.
Zeigen Sie, dass P(A` ) = 1 für alle ` ∈ N. Folgern Sie hieraus, dass sogar
P(∩`≥1 A` ) = 1,
d.h. mit Wahscheinlichkeit Eins enthält die Folge (Xk )k∈N unendlich viele Eins-Serien
beliebiger Länge.
Aufgabe 4: Irrfahrt (5+5 Punkte)
Wie in Aufgabe 3, sie (Xn )n∈N eine Folge unabhängiger Zufallsbariablen mit
P(Xj = 1) = p
und
P(Xj = −1) = 1 − p.
Sei Sn = X1 + · · · + Xn . Zeigen Sie, dass
a) P (Sn = 0 unendlich oft) = 1 falls p = 12 .
b) P (Sn = 0 unendlich oft) = 0 falls p 6= 12 .
Hinweis: in Teil a) benutzen Sie die Tatsache, dass
√
√
{Sn = 0 unendlich oft} ⊃ lim sup Sn / n = ∞ and lim inf Sn / n = −∞
n→∞
n→∞
\
Sn
Sn
=
lim sup √ > c ∩ lim sup √ < −c
n
n
n→∞
n→∞
c>0
Welche Werte kann
√
P lim sup Sn / n > c
n→∞
annehmen? Der Satz von Moivre-Laplace kann hilfreich sein, um diese Wahrscheinlichkeit abzuschätzen.
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