¨Ubungen zu Mathematik I für Physiker

MATHEMATISCHES INSTITUT
DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN
WS 2012/2013
Übungen zu Mathematik I für Physiker
Prof. Dr. D. Dürr
Blatt 10
Aufgabe 1:
1. Für eine Folge reeller Zahlen (xn )n∈N sind der Limes superior und der Limes inferior
definiert als
lim sup xn = lim (sup{xk : k ≥ n})
n→∞
n→∞
lim inf xn = lim (inf{xk : k ≥ n})
n→∞
n→∞
Machen Sie sich klar, dass dies der größte, beziehungsweise kleinste Häufungspunkt
der Folge (xn )n∈N sind (oder falls diese nicht existieren ±∞). Was bedeutet dies für
fast alle Folgenglieder xn ?
2. Berechnen Sie für die Reihe
∞
X
n=1
an =
1
1
1
1
1 1
+ + 2 + 2 + 3 + 3 + ...
2 3 2
3
2
3
die Werte
lim inf
n→∞
Konvergiert
∞
P
√
√
an+1
an+1
, lim sup
, lim inf n an , und lim sup n an .
n→∞
an
an
n→∞
n→∞
an ? Beweisen Sie Ihre Antwort.
n=1
Aufgabe 2: Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Reihen
(a)
P∞
(b)
P∞
(c)
P∞
(d)
P∞
(e)
P∞
k=0
k−1
k x k!
xn
n=1 n
n=0
n xn
xn
n=1 2n2
1 2k
k=0 4k x
Aufgabe 3:
Sei f : R → R; x 7→
1
.
1+x2
Für welche x ∈ R können Sie f (x) als Potenzreihe in der Form f (x) =
ben? Geben Sie diese Potenzreihe explizit an.
P∞
Aufgabe 4: Die Leibniz-Reihe ist definiert als
∞
X
(−1)n
.
S=
2n + 1
n=0
Zeigen Sie, dass diese Reihe konvergent ist und beweisen Sie S = π4 .
Wir wünschen Ihnen frohe Festtage und einen guten Start ins neue Jahr!
n=0
an xn schrei-