Blatt 7

Einführung in die Mathematik (WiSe 14/15)
Abgabe: Mi. 17.12.14, bis 1400 Uhr
E-Geb., Erdgeschoss, im Kasten E 2
Übungsblatt 7
Prof. Dr. Leonhard Frerick
Patrick Groetzner
Abgabe in 2er Gruppen möglich (bitte beide Namen und Matrikelnummern angeben)
Aufgabe 1:
(10 Punkte)
Es seien (xn )n∈N und (yn )n∈N beschränkte Folgen reeller Zahlen. Beweisen Sie:
a) lim inf xn ≤ lim sup xn ,
n→∞
n→∞
b) −lim inf xn = lim sup(−xn ),
n→∞
n→∞
c) lim inf xn + lim inf yn ≤ lim inf (xn + yn )
n→∞
n→∞
n→∞
und
lim sup(xn + yn ) ≤ lim sup xn + lim sup yn .
n→∞
n→∞
n→∞
Konvergiert eine der beiden Folgen so gilt jeweils Gleichheit.
(5 Punkte)
Aufgabe 2:
Es sei k ∈ N\{1} und ξ ∈
R+ .
Ist a1 ∈
R+
beliebig, so definieren für n ∈ N:
1
ξ
=
(k − 1)an + k−1
k
an
an+1
Zeigen Sie, dass die Folge (an )n∈N konvergiert, sowie dass für ihren Grenzwert
a die Beziehung ak = ξ gilt.
Aufgabe 3:
(4 Punkte)
Sei x ∈ CN0 eine konvergente Folge mit Grenzwert x∞ . Zeigen Sie folgende Aussagen:
a) |x∞ | ≤ sup{|xn | : n ∈ N0 }.
b) |xn | → |x∞ | (für n → ∞).
c)
p
|xn | →
p
|x∞ | (für n → ∞).
Aufgabe 4:
(4 Punkte)
Sei x ∈ CN0 eine konvergente Folge mit Grenzwert x∞ . Zeigen Sie, dass die Folge s
der arithmetischen Mittel sn =
1
n+1
n
P
k=0
xk ebenfalls gegen x∞ konvergiert.