Analysis I - Mathematisches Institut Heidelberg

Universität Heidelberg
Mathematisches Institut
Prof. Dr. Michael Leinert
Anke Balderer
Analysis I
Sommersemester 2007
Aufgabenblatt 9
18. Juni 2007
Aufgabe 1.
Sei (an )n∈N eine Folge negativer reeller Zahlen. Zeigen Sie:
(1) (a) lim sup(an ) = −∞ ⇔ lim inf a1n = 0
n→∞
n→∞
(b) lim inf (an ) = −∞ ⇔ lim sup a1n = 0
n→∞
n→∞
(2) Gilt ferner −∞ < lim sup(an ), lim inf (an ) < 0, so gilt
n→∞
nto∞
(a) lim sup a1n =
n→∞
(b) lim inf a1n =
n→∞
1
lim inf (an )
n→∞
1
lim sup(an )
n→∞
(4 Punkte)
Aufgabe 2.
Sei (an )n∈N eine Folge in R, die gegen a > 0 konvergiert. Sei ferner q ∈ Q. Zeigen Sie:
√
√
(1) Die Folge ( m an )n∈N konvergiert gegen m a für m ∈ N.
(2) Die Folge ((an )q )n∈N konvergiert gegen aq .
Tipp: Benutzen Sie (1).
(4 Punkte)
Aufgabe 3.
Seien (an )n∈N eine Folge in R.
(1) Zeigen Sie: Konvergiert
∞
P
an absolut, so konvergiert auch
n=1
∞
P
n=1
a2n absolut.
(2) Geben Sie ein Gegenbeispiel dafür an, dass die Umkehrung von (1) falsch ist.
(3) Geben Sie ein Gegenbeispiel dafür an, dass (1) falsch ist, wenn man ”absolute Konvergenz” duch
”Konvergenz” ersetzt.
(4) Welche Zahl ist größer? 1, 000000000110000000001 oder 2? (ohne Rechner!)
(4 Punkte)
Aufgabe 4.
Eine Teilmenge U ⊆ R heißt offen, wenn gilt: ∀a ∈ U ∃ > 0 : (a − , a + ) ∈ U.. Man zeige:
(1) Jede offene Teilmenge U ⊆ R ist disjunkte Vereinigung von abzählbar vielen offenen Intervallen.
(2) Für die Menge T ⊆ P(R) der offenen Mengen ∈ R gilt:
(a) ∅, R ∈ T
(b) U, V ∈ T ⇒ U ∩ V ∈ T
S
Ui ∈ T .
(c) Ui ∈ T , i ∈ I (wo I beliebige Indexmenge) ⇒
i∈I
Bemerkungen:
• Eine Menge heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist.
• Eine Menge T ⊆ P(R), die die obigen Bedingungen erfüllt, nennt man Topologie (auf R).
(4 Punkte)
Homepage: www.mathi.uni-heidelberg.de/~schlaubi/analysis/
Abgabe: 25. Juni 2007