L. Frerick / M. Müller WS 2015/16 02.12.2015 6. Übung

L. Frerick / M. Müller
WS 2015/16
02.12.2015
6. Übung zur Einführung in die Mathematik
Abgabe der Hausübungen: bis Mittwoch, 9.12.15, 15:45 Uhr in Kasten E 12.
Versehen Sie bitte Ihre Lösungen mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer!
Hausübungen
H19: (4 Punkte)
Es sei
1
: n ∈ N ⊂ R.
n!
Untersuchen Sie, ob sup (M ), inf (M ), max (M ) und min (M ) in R existieren, und bestimmen Sie diese
gegebenenfalls. (Beweisen Sie Ihre Überlegungen! Verwenden Sie, dass für zwei reelle Zahlen x < y
ein q ∈ Q existiert mit x < q < y, oder stattdessen Ihre Kenntnisse über Folgen und Grenzwerte von
Folgen.)
M :=
H20: (4 Punkte)
Es sei a0 ∈ (0, 1) , und für n ∈ N0 sei
an
.
an + 2
konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.
an+1 :=
Zeigen Sie, dass (an )n∈N0
H21: (4+1+2 Punkte)
Es seien die Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N definiert durch an = 1 +
Sie:
1 n
n
und bn = 1 +
1 n+1
.
n
Zeigen
(i) (an )n∈N ist streng monoton wachsend und (bn )n∈N streng monoton fallend. (Betrachten Sie
bn
1
· 1 + n+1
sowie bn+1
und wenden Sie die Bernoullische Ungleichung an.)
an+1
an
(ii) (an )n∈N sowie (bn )n∈N sind beschränkt. (Vergleichen Sie an mit bn für n ∈ N.)
(iii) Es existieren lim an , lim bn , und es gilt lim an = lim bn . (Diesen Grenzwert nennt man auch
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
eulersche Zahl e.)
H22: (2+2+4 Punkte)
Es seien (xn )n∈N und (yn )n∈N beschränkte Folgen reeller Zahlen. Beweisen Sie:
(i) lim inf xn ≤ lim sup xn ,
n→∞
n→∞
(ii) − lim inf xn = lim sup (−xn ) ,
n→∞
n→∞
(iii) lim sup (xn + yn ) ≤ lim sup xn + lim sup yn . Zeigen Sie zudem: Konvergiert eine der beiden Folgen,
n→∞
n→∞
n→∞
so gilt Gleichheit.
H23: (2+2 Punkte)
(i) Es seien n ∈ N und a0 , . . . , an ∈ K. Zeigen Sie, dass
n
X
(aν − aν−1 ) = an − a0
ν=1
gilt. Man spricht in diesem Fall von einer Teleskopsumme.
(ii) Für n ∈ N sei
n
X
1
sn :=
.
ν
(ν
+ 1)
ν=1
Schreiben Sie sn als geeignete Teleskopsumme, um lim sn = 1 zu zeigen.
n→∞