N, EXi

Institut für
Mathematische Statistik
Löwe/Ameskamp: Wahrscheinlichkeitstheorie I
SS 2007, Blatt -9-
Übungen
Abgabetermin: Dienstag, 26.06.2007, 10:15 Uhr
Aufgabe 31. (5 Punkte)
N
Seien (Ω, A, P) = n∈N (R, B, Exp(1)), α > 0 und
Aα := {x ∈ Ω : ∀k ∈ N∃n ≥ k : xn ≥ α log n}.
Zeigen Sie, dass Aα ∈ A gilt und bestimmen Sie
P(Aα).
Aufgabe 32. (5 Punkte)
a) Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum
und (An )n∈N eine Folge in A. Zeigen Sie, dass
P(lim sup An) = 1, falls P∞n=1 P(A ∩ An) = ∞ gilt für alle A ∈ A mit P (A) > 0.
b) Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (AnP
)n∈N eine Folge in A. Zeigen Sie, dass
P(lim sup An) ≤ 1 − P (A) gilt für alle A ∈ A mit ∞n=1 P (A ∩ An) < ∞.
Aufgabe 33. (5 Punkte)
Sei (Xn )n∈N eine Folge stochastisch
unabhängiger, identisch verteilter Zufallsgrößen, mit
Pn
Partialsummenfolge Sn := i=1 Xi und (An )n∈N eine Folge Borel-messbarer Teilmengen
von R. Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von Hewitt und Savage:
P(Sn ∈ An für unendlich viele n ∈ N) ∈ {0, 1}.
Aufgabe 34. (5 Punkte)
Beweisen Sie mit Hilfe des Lemmas von Borel und Cantelli folgende Version des starken Gesetzes der großen Zahlen: Sei (Xn )n∈N eine Folge stochastisch unabhängiger Zufallsgrößen,
so dass EXn4 < ∞ für alle n ∈ N und existiert ein K ∈ R mit
E (Xn − EXn)4 < K für alle n ∈ N,
dann gilt
n
n
1X
1X
n→∞
Xi −
E
Xi −→ 0
n i=1
n i=1
P-fast sicher.
Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis benutzen:
!4
n
n
X
X
X
ai
=
a4i + 6
a2i a2j + 12
i=1
i=1
+ 24
i<j
X
i<j<k<l
X
i6=j,i6=k,j<k
ai aj ak al + 4
X
i6=j
a3i aj .
a2i aj ak