Stochastik - Universität des Saarlandes

Prof. Dr. H. Zähle
Universität des Saarlandes, SS 2013
21. Mai 2013
Stochastik
6. Übung
Aufgabe 20
(3 Punkte)
S
P
Es seien X := n∈N {xn } für eine Folge (xn )n∈N reeller Zahlen, µ := x∈X δx , ` das Lebesgue-Maß
auf (R, B(R)) und f, g ∈ L(R, B(R)) reellwertige Funktionen. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
(i) Es gilt f = g µ-f.s. genau dann, wenn f (x) = g(x) für alle x ∈ X.
(ii) Es gilt f = g `-f.s., wenn f (x) = g(x) für alle x ∈ R \ X.
Aufgabe 21
(2 Punkte)
Betrachten Sie die Folge (fn ) ⊂ L+ (R, B(R)) mit
1[0,1) , n ungerade
fn :=
.
1[−1,0) , n gerade
Verifizieren
R Sie anhand dieses Beispiels, dassR die Ungleichung im Lemma von Fatou strikt sein kann,
d. h. dass lim inf n→∞ fn d` < lim inf n→∞ fn d`.
Aufgabe 22
(3 Punkte)
Umgekehrtes Lemma von Fatou. Es seien (Ω, F, µ) ein Maßraum und (fn ) ⊂ L+ (Ω, F). Weiterhin
existiere ein µ-integrierbares g ∈ L+ (Ω, F) mit fn ≤ g für alle n ∈ N. Zeigen Sie, dass dann
Z
Z
lim sup fn dµ ≤
lim sup fn dµ.
n→∞
n→∞
Hinweis: Wenden Sie das Lemma von Fatou auf die Funktionen fen := g − fn , n ∈ N, an.
Aufgabe 23
(4 Punkte)
Satz von Scheffé. Es seien (Ω, F, µ) ein Maßraum und f, f1 , f2 , . . . ∈ L1 (Ω, F) mit fn −→ f µ-f.s.
Zeigen Sie, dass dann
Z
Z
kfn − f k1 −→ 0 ⇐⇒
|fn | dµ −→ |f | dµ.
Hinweise: Wenden Sie für den Beweis von ⇐=“ das Lemma von Fatou auf die Funktionen fen :=
”
|fn | + |f | − |fn − f |, n ∈ N, an. Beachten Sie zudem, dass fen −→ 2|f | µ-f.s. Die Implikation =⇒“
”
gilt auch ohne die Voraussetzung, dass fn −→ f µ-f.s.
Aufgabe 24
(4 Punkte)
Für feste a, b ∈ R mit a < b sei h ∈ L1 ([a, b], B([a, b]), `|[a,b] ). Zeigen Sie, dass die durch
Z
F (x) :=
h d`[a,b] ,
x ∈ [a, b]
[a,x]
gegebene Funktion F : [a, b] → R stetig ist.