Prof. Dr. H. Zähle Universität des Saarlandes, SS 2013 21. Mai 2013 Stochastik 6. Übung Aufgabe 20 (3 Punkte) S P Es seien X := n∈N {xn } für eine Folge (xn )n∈N reeller Zahlen, µ := x∈X δx , ` das Lebesgue-Maß auf (R, B(R)) und f, g ∈ L(R, B(R)) reellwertige Funktionen. Zeigen Sie die folgenden Aussagen: (i) Es gilt f = g µ-f.s. genau dann, wenn f (x) = g(x) für alle x ∈ X. (ii) Es gilt f = g `-f.s., wenn f (x) = g(x) für alle x ∈ R \ X. Aufgabe 21 (2 Punkte) Betrachten Sie die Folge (fn ) ⊂ L+ (R, B(R)) mit 1[0,1) , n ungerade fn := . 1[−1,0) , n gerade Verifizieren R Sie anhand dieses Beispiels, dassR die Ungleichung im Lemma von Fatou strikt sein kann, d. h. dass lim inf n→∞ fn d` < lim inf n→∞ fn d`. Aufgabe 22 (3 Punkte) Umgekehrtes Lemma von Fatou. Es seien (Ω, F, µ) ein Maßraum und (fn ) ⊂ L+ (Ω, F). Weiterhin existiere ein µ-integrierbares g ∈ L+ (Ω, F) mit fn ≤ g für alle n ∈ N. Zeigen Sie, dass dann Z Z lim sup fn dµ ≤ lim sup fn dµ. n→∞ n→∞ Hinweis: Wenden Sie das Lemma von Fatou auf die Funktionen fen := g − fn , n ∈ N, an. Aufgabe 23 (4 Punkte) Satz von Scheffé. Es seien (Ω, F, µ) ein Maßraum und f, f1 , f2 , . . . ∈ L1 (Ω, F) mit fn −→ f µ-f.s. Zeigen Sie, dass dann Z Z kfn − f k1 −→ 0 ⇐⇒ |fn | dµ −→ |f | dµ. Hinweise: Wenden Sie für den Beweis von ⇐=“ das Lemma von Fatou auf die Funktionen fen := ” |fn | + |f | − |fn − f |, n ∈ N, an. Beachten Sie zudem, dass fen −→ 2|f | µ-f.s. Die Implikation =⇒“ ” gilt auch ohne die Voraussetzung, dass fn −→ f µ-f.s. Aufgabe 24 (4 Punkte) Für feste a, b ∈ R mit a < b sei h ∈ L1 ([a, b], B([a, b]), `|[a,b] ). Zeigen Sie, dass die durch Z F (x) := h d`[a,b] , x ∈ [a, b] [a,x] gegebene Funktion F : [a, b] → R stetig ist.