Mathematische Statistik - Fachbereich Mathematik und Statistik

Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik
Prof. Dr. Jan Beran
Wintersemester 2011/12
Mathematische Statistik
7. Übungsblatt
test test
Aufgabe 7.1 Sei X = [X1 , . . . , Xn ] eine Stichprobe aus der Verteilung p1,θ (x) := θxθ−1 ,
θ > 0, x ∈ (0, 1).
1. Bestimmen Sie die Cramer-Rao-Schranke für g(θ) = 1θ .
P
2. Zeigen Sie, dass T (X) := − n1 ni=1 ln(Xi ) der MVUE für
Hinweis: Moment-erzeugende Funktion von T .
3. Ist
1
T
1
θ
ist.
ein MVUE für θ? (Korrektur am 1.12.)
Aufgabe 7.2 Sei X = [X1 , . . . , Xn ]0 eine Stichprobe aus der Verteilung p1,θ (x) :=
θ > 0, x ∈ R.
1
2θ
exp{− |x|
θ },
1. Schreiben Sie die Verteilungsfamilie als kanonische exponentielle Familie und bestimmen
Sie den natürlichen Parameterraum.
2. Bestimmen Sie die Cramer-Rao-Schranke für g1 (θ) = θ und g2 (θ) = θ2 .
3. Bestimmen Sie den MVUE für g1 und g2 .
Hinweis: Sie können ohne Beweis Aussagen über die Momente der Exponentialverteilung
aus der Literatur verwenden (beachten Sie aber, dass die gegebene Verteilung nicht die
Exponentialverteilung ist).
Aufgabe 7.3 Sei T eine Zufallsvariable und U ein m-dimensionaler Zufallsvektor mit E[U ] = 0.
Die Varianz ΣT T = var(T ) beziehungsweise Kovariantmatrix ΣU U = cov(U, U ) = var(U ) sollen
existieren (dann existiert auch ΣT U = cov(T, U )). Die Matrix ΣU U sei regulär.
Zeigen Sie, dass T̂ = E[T ] + U 0 Σ−1
U U ΣU T die beste lineare Vorhersage von T auf Grundlage von
0 2
U ist, d. h. daß a = E[T ] und der Vektor v = Σ−1
U U ΣU T das Funktional E[|T − a − U v| ] minimal
über alle a, v werden lässt. Wie muss man a wählen, wenn E[U ] 6= 0?
Hinweise:
1. Man kann hier iteriert minimieren: mina,A (· · ·) = minA mina (· · ·).
2. Für alle quadratintegrierbaren Y ist E[(T − Y )2 ] ≥ var(T − Y ).
3. Quadratische Ergänzung;
Aufgabe 7.4 Wir führen Die Landau-Symbole OP , oP für die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit ein: Seien Xn , Yn Folgen von Zufallsvariablen auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum.
Dann definiert man
Xn = OP (Yn ), falls es zu jedem ε > 0 ein Cε > 0 und ein Nε gibt, sodass
supn≥Nε P (|Xn | ≥ Cε |Yn |) < ε.
Xn = oP (Yn ), falls
Xn P
Yn →
0, n → ∞.
d
1. Zeigen Sie: Gillt Xn → c, n → ∞, so gilt Xn − c = oP (1) (oder verbal: aus der Konvergenz nach Verteilung gegen eine konstante Zufallsvariable folgt die Konvergenz nach
Wahrscheinlichkeit).
2. Sei an eine reelle Folge positiver Zahlen mit an → ∞, n → ∞, und sei Un eine Folge von
√
d
Zufallsvariablen mit an (Un − u) → N (0, σ 2 ), n → ∞, für eine reelle Zahl u. Zeigen Sie,
P
dass Un → u, n → ∞.
d
d
3. Zeigen Sie: Ist h eine stetige Funktion und Xn → X, so h(Xn ) → h(X), n → ∞.
Hinweis: Geeignete Charakterisierung der Konvergenz nach Verteilung.
4. Sei Un wie in 2. und g eine reellwertige Funktion, die differenzierbar an der Stelle u ist.
√
Wir setzen Wn := an g(Un ) − g(u) − g (1) (u)(Un − u) . Zeigen Sie: Zu jedem ε > 0 gibt
es ein δε > 0, sodass für alle γ > 0 gilt:
√
γ
P (|Wn | ≥ γ) ≤ P (|Un − u| ≥ δε ) + P ( an |Un − u| ≥ ).
ε
Hinweis: Wie kann man |g(un ) − g(u) − g (1) (u)(un − u)| abschätzen?
5. Zeigen Sie Wn = oP (1).
√
d
Hinweis: Aus 3. folgt an |Un − u| → |Z|.
Abgabe: Dienstag, 6.12.2011, 12.30 h, Briefkasten Nr. 18