Prof. Dr. Rainer Dahlhaus

Prof. Dr. Rainer Dahlhaus
Wahrscheinlichkeitstheorie 1
Sommersemester 2016
8. Übungsblatt
Aufgabe 29 (Überprüfen der verschiedenen Konvergenzarten von Zufallsvariablen,
4 = 1 + 1.5 + 1.5 Punkte).
Gegeben sei der Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) := ([0, 1], B[0,1] , λ|[0,1] ), wobei B[0,1] die Borelsche σ-Algebra über [0, 1] und λ|[0,1] das auf ([0, 1], B[0,1] ) eingeschränkte Lebesgue-Maß bezeichnet.
Untersuchen Sie die in (a) bis (c) gegebenen Folgen von reellwertigen Zufallsvariablen Xn :
(Ω, A) → (R, BR ), n ∈ N, auf folgende Konvergenzarten: stochastische, fast sichere, im r-ten
Mittel (r ∈ R, r > 0) und in Verteilung. Geben Sie im Falle der Existenz den Limes an.
(a) Xn = n2 · 1[0,1/n] ,
(b) Xn = (−1)n ·
1
2
− 1[0, 1 ] ,
2
(c) Xn = 1An , wobei für jede natürliche Zahl n ∈ N eine eindeutige Zerlegung n = 2k + j mit
k, j ∈ N0 , 0 ≤ j < 2k bestimmt wird und dann
An := [j2−k , (j + 1)2−k ]
gesetzt wird.
Aufgabe 30 (Anwendung: Lemma von Borel-Cantelli, 4 Punkte).
"Ein Affe, der rein zufällig auf einer Computertastatur tippt, wird irgendwann einmal auch
Goethes Faust schreiben".
Formalisieren Sie diese Weisheit und geben Sie eine exakte mathematische Begründung mittels
des Lemmas von Borel-Cantelli dafür, dass er dies mit Wahrscheinlichkeit Eins sogar unendlich
oft tun wird (sofern er unendlich lange lebt).
Aufgabe 31 (Beziehungen zwischen der Konvergenz im Mittel und schwächeren
Konvergenzarten, 4 = 1.5 + 1.5 + 1 Punkte).
Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und Xn , X : (Ω, A, P) → (R, BR ) für n ∈ N reellwertige Zufallsvariablen.
(a) (Konvergenz der Momente): Eine äquivalente Definition der Konvergenz in Verteilung
D
Xn → X lautet: Für alle stetigen und beschränkten Funktionen f : R → R gilt E[f (Xn )] →
E[f (X)].
D
Zeigen Sie: Gilt Xn → X und lim supn→∞ E[|Xn |r ] < ∞ für ein r > 0, so folgt E[|X|r ] < ∞
und für alle 0 < q < r gilt E[|Xn |q ] → E[|X|q ].
Hinweis: Verwenden Sie die Hölder-Ungleichung aus der Vorlesung.
1
P
(b) Es gelte Xn → X und lim supn→∞ E[|Xn |r ] < ∞ für ein r > 0. Zeigen Sie, dass dann für
(q)
alle 0 < q < r gilt: Xn → X.
Hinweis: Fügen Sie 1 = 1{|Xn −X|≤ε} + 1{|Xn −X|>ε} mit ε > 0 an geeigneter Stelle ein. Sie
können ohne Beweis nutzen, dass (a + b)q ≤ 2q (aq + bq ) für reelle Zahlen a, b, q > 0 gilt.
(c) Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass beide Implikationen aus (a), (b) ohne die Voraussetzung lim supn→∞ E[|Xn |r ] < ∞ nicht gelten müssen. Geben Sie also einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) und für jedes q > 0 eine Folge Xn von Zufallsvariablen (mögliP
cherweise abhängig von q) mit Xn → X an, für welche die Aussagen E[|Xn |q ] → E[|X|q ]
(q)
und Xn → X falsch sind.
Aufgabe 32 (Zeigen und Widerlegen von fast sicherer Konvergenz, 4 = 1 + 1.5 +
1.5 Punkte).
Es sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und Xi , X : (Ω, A) → (R, BR ), i ∈ N unabhängig
und identisch verteilte, reellwertige Zufallsvariablen.
(a) Es seien Xi ∼ U [1, 2], i ∈ N auf [1, 2] gleichverteilt. Zeigen Sie, dass
n
Y
!1/n
→ c P − f.s.
Xi
i=1
für eine Konstante c ∈ R und bestimmen Sie c.
Hinweis: Wenden Sie log an und nutzen Sie Ergebnisse von Präsenzblatt 7, Aufgabe
P27(a).
(b) Es seien Xi ∼ U [0, 1], i ∈ N auf [0, 1] gleichverteilt. Es bezeichne Xn:1 , ..., Xn:n die Ordnungsstatistiken von X1 , ..., Xn . Sei u ∈ (0, 1) fest gewählt. Zeigen Sie, dass Xn:(1+bunc) →
u P-f.s.
Hinweis: Überlegen Sie sich, dass mit der empirischen Verteilungsfunktion F̂n von X1 , ..., Xn
; schreiben Sie dann |Xn:(1+bunc) −u| ≤ |Xn:(1+bunc) − 1+bunc
|+
gilt: F̂n (Xn:(1+bunc) ) = 1+bunc
n
n
1+bunc
| n − u| und nutzen Sie für den ersten Summanden den Satz von Glivenko-Cantelli.
(c) Es seien Xi ∼ Exp(1) exponentialverteilt mit Parameter 1. Definiere Yn :=
Xn
.
log(n)
Zeigen
P
Sie, dass Yn → 0, aber dass Yn nicht P-f.s. gegen 0 konvergiert.
Hinweis: Zeigen Sie, dass P({Yn ≥ 1 für unendlich viele n ∈ N}) = 1.
Abgabe: In Zweiergruppen, bis spätestens Donnerstag, den 16. Juni 2016, 09:15 Uhr vor Beginn
der Vorlesung in den Zettelkästen 33 bzw. 34 in INF205, Etage 1.
Homepage der Vorlesung:
http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hu020/WT1/index.html
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