,,Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie” 12.¨Ubungsblatt

Institut für Angewandte Mathematik
WS 2014/15
Prof. Karl-Theodor Sturm, Dr. Sebastian Andres
,,Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie”
12. Übungsblatt
Abgabe bis Dienstag 13.1.2015 in der Vorlesungspause
Aufgabe 1
[5 Pkt ]
Sei (Xn )n∈N eine Folge von L2 -Zufallsvariablen
auf (Ω, F, P) mit festem Erwartungswert
P
E[Xn ] = m für alle n und sei Sn := ni=1 Xi . Es gelte
Cov(Xi , Xj ) ≤ ε|i−j| ,
∀i, j ∈ N,
mit endlichen Konstanten εn ∈ (0, ∞), n = 0, 1, 2, . . .. Beweisen Sie die folgenden Erweiterungen (der L2 -Versionen) des schwachen und starken Gesetzes der großen Zahlen.
1. Konvergiert εn → 0 für n → ∞, dann folgt
Sn
→m
n
2. Falls
P∞
n=1 εn
in L2 (Ω, F, P) und in P-Wahrscheinlichkeit.
< ∞, dann ist Var(Sn /n) von der Ordnung O(1/n), und es folgt dass
Sn
→m
n
P-f.s.
Aufgabe 2
[5 Pkt ]
Eine Zahl u ∈ [0, 1) heißt normal, falls das Folgende gilt: Für alle q ≥ 2 und k ≥ 1 kommt
in der q-adischen Darstellung
u=
∞
X
ui q −i
i=1
jede Ziffernfolge a = (a1 , . . . , ak ) ∈ {0, . . . , q − 1}k mit relativer Häufigkeit q −k vor, d.h.
1 {1 ≤ i ≤ n : (ui , ui+1 , . . . , ui+k−1 ) = a} = q −k .
n→∞ n
lim
Zeigen Sie, dass bezüglich der Gleichverteilung auf [0, 1] fast jede Zahl normal ist.
1
Aufgabe 3
Es seien X, X1 , X2 , . . . reellwertige Zufallsvariablen. Zeigen Sie:
[5 Pkt ]
D
P
1. Aus Xn −→ X folgt Xn −→ X, d.h. Konvergenz in Wahrscheinlichkeit impliziert
Konvergenz in Verteilung.
D
P
2. Ist X P -f.s. konstant, so gilt auch die Umkehrung: Xn −→ X impliziert Xn −→ X.
P
P
3. Aus (Xn − X)2 −→ 0 folgt Xn −→ X.
Aufgabe 4
[5 Pkt ]
Seien X1 , . . . , Xn unabhängige und exponentialverteilte Zufallsvariablen mit Parameter
λ > 0 und
Zn := max Xi .
1≤i≤n
Zeigen Sie, dass die Folge
Qn := Zn −
ln n
λ
in Verteilung gegen eine doppelexponentialverteilte Zufallsvariable Z konvergiert. Dabei ist
die Verteilungsfunktion einer doppelexponentialverteilten Zufallsvariablen gegeben durch
F (x) = exp − exp(−λx) ,
x ∈ R.
Wir wünschen Ihnen fröhliche Weihnachten und ein gutes neues Jahr 2015
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