¨Ubungsblatt 7 zur Wahrscheinlichkeitstheorie

Übungsblatt 7 zur Wahrscheinlichkeitstheorie
F. Merkl/R. Graf
Abgabe bis 27. Juni 2011, 13:00 Uhr
Aufgabe 25
Es sei (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen und (Zn )n∈N eine
Pauf {1, −1} gleichverteilte Folge von
unabhängigen Zufallsvariablen. Zeigen Sie: Die Reihe P∞
n=1 Zn an mit zufälligen Vorzeichen
∞
2
2
konvergiert genau dann fast sicher und in L , wenn
n=1 an < ∞. Konvergiert also die
harmonische Reihe mit zufälligen Vorzeichen“ (an = 1/n) fast sicher und in L2 ?
”
Aufgabe 26
SeiS (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, (Fn )n∈N eine Filtration darin und F∞ :=
σ( k∈N Fk ). Es sei weiter A ∈ F∞ und An := {E[1A |Fn ] ≥ 12 } für n ∈ N. Zeigen Sie:
An ∈ Fn und limn→∞ P[A 4 An ] = 0, wobei A 4 B := (A \ B) ∪ (B \ A) für Mengen A und
B die symmetrische Mengendifferenz bezeichnet.
Aufgabe 27
Beweisen Sie die folgende bedingte Version des Lemma von Fatou: Es sei (Xn )n∈N eine Folge
von nichtnegativen Zufallsvariablen über (Ω, A, P) und F ⊆ A eine Unter-σ-Algebra. Zeigen
Sie:
E[lim inf Xn |F] ≤ lim inf E[Xn |F]
n→∞
n→∞
P-f.s.
Aufgabe 28
1 Pn
Es seien (Zn )n∈N reellwertige
Zufallsvariablen,
F
:=
σ(Z
:
k
≥
n),
X
:=
−n
n
k
k=1 Zk ,
n
T
n ∈ N, und F−∞ := k∈N F−k . Entscheiden Sie, ob folgende Zufallsvariablen und Ereignisse
F−∞ -messbar sind:
a)
lim inf n→∞ Zn , lim supn→∞ Zn ;
b)
lim inf n→∞ Xn , lim supn→∞ Xn ;
c)
{limn→∞ Xn = 0}, {limn→∞ Xn existiert in R}.