6. Aufgabenblatt - Institut für Mathematik

Institut für Mathematik, Universität Zürich
Prof. E. Bolthausen
6. Aufgabenblatt zur
Wahrscheinlichkeitstheorie
Abgabe bis Freitag, 3. April 2009, 13.00
Aufgabe 23 Sei {Xn }n∈N eine Folge unabhängiger, 1[0,1] (x)λ(dx)-verteilter Zufallsgrössen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P ) (λ(dx): Lebesgue-Mass auf ),
und sei
Yn := min Xi .
R
1≤i≤n
Zeigen Sie, dass die Folge {nYn }n∈N für n → ∞ in Verteilung gegen die Exponentialverteilung e−x 1[0,∞) (x)λ(dx) konvergiert.
Aufgabe 24 Sei {Xn }n∈N eine Folge von Zufallsgrössen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P ), die schwach gegen die konstante Zufallsgrösse X konvergiert. Zeigen Sie,
dass die Folge {Xn }n∈N auch in Wahrscheinlichkeit gegen X konvergiert.
Aufgabe 25 Seien {Xn }n∈N eine Folge von Zufallsgrössen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P ), Fn := σ(Xn ) = Xn−1 (B) für alle n ∈ und
!
!
∞
∞
\ _
\
[
T∞ =
Fn =
σ
Fn
N
N
k∈
n=k
k∈
N
n=k
Pn
die σ-Algebra der terminalen Ereignisse der Folge {Fn }n∈N , und sei Sn :=
i=1 Xi .
Seien zudem (cn )n∈N eine Folge reeller Zahlen mit cn → ∞ für n → ∞ und x ∈ .
Untersuchen Sie, ob die folgenden Mengen Elemente von T∞ sind:
R
(a) {ω ∈ Ω| limn→∞ Sn (ω) existiert },
(b) {ω ∈ Ω| lim supn→∞ Sn (ω) > 0},
(c) {ω ∈ Ω| lim supn→∞ (Sn (ω)/cn ) > x}.
Bitte wenden.
Aufgabe 26 (Lévy-Prohorov Metrik) Sei (S, d) ein metrischer Raum. Für zwei Wahrscheinlichkeitsmasse µ, ν auf (S, BS ) sei
ρ (µ, ν) := inf {ε > 0 : µ (A) ≤ ν (Aε ) + ε, ν (A) ≤ µ (Aε ) + ε, ∀A ∈ BS } ,
mit Aε := {x ∈ S : d (x, A) < ε} .
Zeigen Sie:
(a) ρ ist eine Metrik auf der Menge der Wahrscheinlichkeitsmasse auf (S, BS ) .
w
(b) Ist (S, d) separabel, so metrisiert ρ die schwache Konvergenz, d.h. µn → µ gilt
dann und nur dann, wenn limn→∞ ρ (µn , µ) = 0 gilt.
Hinweis zu (b): Zeigen Sie, dass limn ρ(µ, µn ) = 0 für jeden offenen Ball A gilt, falls
µn (A) → µ(A). Nutzen Sie dann die Eigenschaft separabler metrischer Räume aus, dass
jede offene Menge abzählbare Vereinigung paarweise disjunkter Bälle ist.