Übungen zu Analysis 1, 5. Übung 1. Geben Sie eine unbeschränkte Folge in R an, die eine konvergente Teilfolge hat! Weiters geben Sie eine beschränkte Folge in R an, die nicht konvergent ist, aber eine streng monoton wachsende Teilfolge besitzt. 2. Sei M , ∅ versehen mit der diskreten Metrik d. Zeigen Sie, dass eine Folge in M genau dann konvergiert, wenn sie ab einem gewissen Index konstant ist. 3. Sei hX, di ein metrischer Raum. Seien (xn )n∈N , (yn )n∈N zwei Folgen in X, die gegen den selben Grenzwert x konvergieren. Man zeige, dass dann auch die gemischte Folge (zn )n∈N gegen x konvergiert, wobei z2k = xk , k ∈ N und z2k−1 = yk , k ∈ N. 4. Sei k ∈ N fest. Man berechne limn→∞ nk 2n . Hinweis: Man zeige mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes, dass für p(n) := n n n−1 n−k n = · k+1 1 2 · . . . · k+1 ein Polynom in n vom Grad > k ist, sodass 2 ≥ p(n) für n > k + 1. 5. Es sei (an )n∈N eine Folge, die gegen ein a ∈ R konvergiere. Man beweise, dass dann die Folge (bn )n∈N definiert durch n bn := 1X aj n j=1 ebenfalls gegen a konvergiert. Hinweis: Zeigen Sie, dass bn − a = bn − 1 n Pn j=1 a gegen Null geht. 6. Sind folgende Folgen konvergent/divergent? Begründen Sie ihre Antwort! - ((1 + n12 )2n−2 )n∈N in R versehen mit der euklidischen Metrik. Hinweis: Betrachte eins durch die Folge, wende die Bernouillsche Ungleichung an und gehe wieder zu den Kehrwerten über! √ √ - ( 16n2 + 2n + 1 − 4n)n∈N in R versehen mit der euklidischen Metrik. 7. Sind folgende Folgen konvergent/divergent? Begründen Sie ihre Antwort! 1 n ) )n∈N in R versehen mit der euklidischen Metrik. Hinweis: Sie - ((1 − 2n dürfen verwenden, dass die Folge ((1 + 1n )n )n∈N konvergiert, wobei der Grenzwert e getauft wird. - ((3 + 4i + 1−i 7 2n ) − 1)n∈N in C versehen mit der euklidischen Metrik. 8. Untersuchen Sie folgende rekursiv definierte Folge (xn )n∈N auf Konvergenz und berechnen Sie gegebenenfalls den Grenzwert! xn+1 = 1 (a + x2n ), n ≥ 1, x1 = 0, 0 ≤ a ≤ 1. 2 Hinweis: Überprüfen Sie zuerst auf Monotonie und Beschränktheit. Beweise dafür mittels vollständiger Induktion! Der Grenzwert (falls existent) erfüllt limn→∞ xn = limn→∞ xn+1 = limn→∞ 12 (a + x2n ) = . . . 9. Sind folgende metrische Räume vollständig oder nicht? Begründen Sie ihre Antwort! Dabei ist d2 die euklidische Metrik. - (C \ {0}, d2 ). - ([0, 1] ∪ [2, 3], d2). - (Z, d2 ) (Betrachten Sie Z als Teilmenge von R). 10. Sei (cn )n∈N eine Folge positiver reeller Zahlen, die gegen eine positive reelle Zahl 1 c konvergiert. Wohin konvergiert (cn ) n ? Warum ? Hinweis: Ist b < c < d für positive b, d, so erfüllt cn ab einem Index b < cn < d. 11. Zifferndarstellung reeller Zahlen: Sei b ∈ N, b ≥ 2. Wir betrachten Folgen (zn )n∈N∪{0} bestehend aus ganzen Zahlen, sodass zn ∈ {0, 1, . . . , b − 1} für n ≥ 1. Weiters fordern wir, dass die Folge nicht ab einem gewissen Index aus lauter Zahlen b − 1 besteht (d.h. ∀N ∈ N∃n ≥ N : zn , b − 1). Die Menge aller solchen Folgen bezeichnen wir mit D. Man zeige: Zu jeder reellen Zahl x gibt es eine Folge (zn )n∈N∪{0} ∈ D, sodass die durch n X 1 an = z0 + zj j , b j=1 definierte Folge rationaler Zahlen (an )n∈N gegen x konvergiert. Hinweis: Für x ≥ 0 setze z0 = [x] (größte ganze Zahl ≤ z). Dann definiere zn rekursiv so, dass an ≤ x und dass der Abstand von x zu an möglichst klein wird. Dieser Abstand ist dann ≤ b−n . Bemerkung: Für b = 10 erhält man die Dezimaldarstellung einer reellen Zahl, wenn x ≥ 0. 12. Mit der Notation aus dem obigen Beispiel weise man nach, dass für jedes (zn )n∈N∪{0} ∈ D die Folge (an )n∈N mit an = z0 + n X j=1 zj 1 , bj eine Cauchyfolge ist. Weiters zeige man, dass zu zwei verschiedenen (zn )n∈N∪{0} , (wn )n∈N∪{0} ∈ D für die entsprechenden Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N gilt: limn→∞ an , limn→∞ bn . Bemerkung: Zusammen mit dem obigen Beispiel sieht man, dass es über diese Folgen eine bijektive Beziehung zwischen D und R gibt. Für b = 10 und für Zahlen ≥ 0 ist das genau die bekannte Dezimaldarstellung der reellen Zahlen. 13. Man betrachte die Menge C := C ∪ {∞}, wobei ∞ ein nicht in C enthaltenes Element ist. Man sagt, dass eine komplexe Folge (zn )n∈N gegen ∞ konvergiert (in Zeichen limn→∞ zn = ∞ oder zn → ∞), falls ∀M ∈ R, M > 0 ∃N ∈ N : |zn | > M, ∀n ≥ N. Man zeige, dass zn → ∞ genau dann, wenn |zn | → +∞ im Sinne der Vorlesung. Weiters zeige man: Sind p(z) und q(z) zwei Polynome mit komplexen Koeffizienten, sodass p einen höheren Grad als q hat, dann konvergiert die komplexe p(n) ) gegen ∞ im obigen Sinne. Folge ( q(n) Bemerkung: Ist k der Grad von q und bk , 0 der Führungskoeffizient von q, so gilt n−k q(n) → bk und daher |n−k q(n)| → |bk | > 0. Somit ist q(n) sicher nicht Null, p(n) wenn nur n ≥ K für ein K ∈ N. Also ist die Folge ( q(n) ) ab n = K wohldefiniert.