Ubungen zu Analysis 1, 5. ¨Ubung

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Übungen zu Analysis 1, 5. Übung
1. Geben Sie eine unbeschränkte Folge in R an, die eine konvergente Teilfolge hat!
Weiters geben Sie eine beschränkte Folge in R an, die nicht konvergent ist, aber
eine streng monoton wachsende Teilfolge besitzt.
2. Sei M , ∅ versehen mit der diskreten Metrik d. Zeigen Sie, dass eine Folge in
M genau dann konvergiert, wenn sie ab einem gewissen Index konstant ist.
3. Sei hX, di ein metrischer Raum. Seien (xn )n∈N , (yn )n∈N zwei Folgen in X, die
gegen den selben Grenzwert x konvergieren. Man zeige, dass dann auch die
gemischte Folge (zn )n∈N gegen x konvergiert, wobei z2k = xk , k ∈ N und
z2k−1 = yk , k ∈ N.
4. Sei k ∈ N fest. Man berechne limn→∞
nk
2n .
Hinweis:
Man zeige mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes, dass für p(n) :=
n
n n−1
n−k
n
=
·
k+1
1
2 · . . . · k+1 ein Polynom in n vom Grad > k ist, sodass 2 ≥ p(n) für
n > k + 1.
5. Es sei (an )n∈N eine Folge, die gegen ein a ∈ R konvergiere. Man beweise, dass
dann die Folge (bn )n∈N definiert durch
n
bn :=
1X
aj
n j=1
ebenfalls gegen a konvergiert.
Hinweis: Zeigen Sie, dass bn − a = bn −
1
n
Pn
j=1
a gegen Null geht.
6. Sind folgende Folgen konvergent/divergent? Begründen Sie ihre Antwort!
- ((1 + n12 )2n−2 )n∈N in R versehen mit der euklidischen Metrik. Hinweis: Betrachte eins durch die Folge, wende die Bernouillsche Ungleichung an und
gehe wieder zu den Kehrwerten über!
√
√
- ( 16n2 + 2n + 1 − 4n)n∈N in R versehen mit der euklidischen Metrik.
7. Sind folgende Folgen konvergent/divergent? Begründen Sie ihre Antwort!
1 n
) )n∈N in R versehen mit der euklidischen Metrik. Hinweis: Sie
- ((1 − 2n
dürfen verwenden, dass die Folge ((1 + 1n )n )n∈N konvergiert, wobei der
Grenzwert e getauft wird.
- ((3 + 4i +
1−i 7
2n )
− 1)n∈N in C versehen mit der euklidischen Metrik.
8. Untersuchen Sie folgende rekursiv definierte Folge (xn )n∈N auf Konvergenz und
berechnen Sie gegebenenfalls den Grenzwert!
xn+1 =
1
(a + x2n ), n ≥ 1, x1 = 0, 0 ≤ a ≤ 1.
2
Hinweis: Überprüfen Sie zuerst auf Monotonie und Beschränktheit. Beweise dafür mittels vollständiger Induktion! Der Grenzwert (falls existent) erfüllt
limn→∞ xn = limn→∞ xn+1 = limn→∞ 12 (a + x2n ) = . . .
9. Sind folgende metrische Räume vollständig oder nicht? Begründen Sie ihre Antwort! Dabei ist d2 die euklidische Metrik.
- (C \ {0}, d2 ).
- ([0, 1] ∪ [2, 3], d2).
- (Z, d2 ) (Betrachten Sie Z als Teilmenge von R).
10. Sei (cn )n∈N eine Folge positiver reeller Zahlen, die gegen eine positive reelle Zahl
1
c konvergiert. Wohin konvergiert (cn ) n ? Warum ?
Hinweis: Ist b < c < d für positive b, d, so erfüllt cn ab einem Index b < cn < d.
11. Zifferndarstellung reeller Zahlen:
Sei b ∈ N, b ≥ 2. Wir betrachten Folgen (zn )n∈N∪{0} bestehend aus ganzen Zahlen,
sodass zn ∈ {0, 1, . . . , b − 1} für n ≥ 1. Weiters fordern wir, dass die Folge nicht
ab einem gewissen Index aus lauter Zahlen b − 1 besteht (d.h. ∀N ∈ N∃n ≥ N :
zn , b − 1). Die Menge aller solchen Folgen bezeichnen wir mit D.
Man zeige: Zu jeder reellen Zahl x gibt es eine Folge (zn )n∈N∪{0} ∈ D, sodass die
durch
n
X
1
an = z0 +
zj j ,
b
j=1
definierte Folge rationaler Zahlen (an )n∈N gegen x konvergiert.
Hinweis: Für x ≥ 0 setze z0 = [x] (größte ganze Zahl ≤ z). Dann definiere zn
rekursiv so, dass an ≤ x und dass der Abstand von x zu an möglichst klein wird.
Dieser Abstand ist dann ≤ b−n .
Bemerkung: Für b = 10 erhält man die Dezimaldarstellung einer reellen Zahl,
wenn x ≥ 0.
12. Mit der Notation aus dem obigen Beispiel weise man nach, dass für jedes
(zn )n∈N∪{0} ∈ D die Folge (an )n∈N mit
an = z0 +
n
X
j=1
zj
1
,
bj
eine Cauchyfolge ist. Weiters zeige man, dass zu zwei verschiedenen
(zn )n∈N∪{0} , (wn )n∈N∪{0} ∈ D für die entsprechenden Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N
gilt: limn→∞ an , limn→∞ bn .
Bemerkung: Zusammen mit dem obigen Beispiel sieht man, dass es über diese
Folgen eine bijektive Beziehung zwischen D und R gibt. Für b = 10 und für
Zahlen ≥ 0 ist das genau die bekannte Dezimaldarstellung der reellen Zahlen.
13. Man betrachte die Menge C := C ∪ {∞}, wobei ∞ ein nicht in C enthaltenes
Element ist. Man sagt, dass eine komplexe Folge (zn )n∈N gegen ∞ konvergiert
(in Zeichen limn→∞ zn = ∞ oder zn → ∞), falls
∀M ∈ R, M > 0 ∃N ∈ N : |zn | > M, ∀n ≥ N.
Man zeige, dass zn → ∞ genau dann, wenn |zn | → +∞ im Sinne der Vorlesung.
Weiters zeige man: Sind p(z) und q(z) zwei Polynome mit komplexen Koeffizienten, sodass p einen höheren Grad als q hat, dann konvergiert die komplexe
p(n)
) gegen ∞ im obigen Sinne.
Folge ( q(n)
Bemerkung: Ist k der Grad von q und bk , 0 der Führungskoeffizient von q, so
gilt n−k q(n) → bk und daher |n−k q(n)| → |bk | > 0. Somit ist q(n) sicher nicht Null,
p(n)
wenn nur n ≥ K für ein K ∈ N. Also ist die Folge ( q(n)
) ab n = K wohldefiniert.
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