Ubungen zu Analysis 1, 6. ¨Ubung (17.11.09)

Übungen zu Analysis 1, 6. Übung (17.11.09)
1. Die beiden Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N seien definiert durch:
an = 1 +
1
n
!n
, bn = 1 +
1
n
!n+1
.
Zeigen Sie, dass beide Folgen konvergieren, und zwar gegen den gleichen Grenzwert. Diesen bezeichnet man mit e (Eulersche Konstante). Weiters zeigen Sie,
dass an < e < bn und dass die Folge cn = (1 − 1n )n für n → ∞ gegen 1e konvergiert. Hinweis: (1 − 1n ) = (1+1 1 ) .
n−1
2. Ist die Folge (xn )n∈N
xn =
1
1
1
+
+ ··· + ,
n+1 n+2
2n
konvergent? Wenn ja, warum?
3. Sind folgende Folgen konvergent/divergent? Begründen Sie ihre Antwort!
- ((1+ n12 )n )n∈N in R versehen mit der euklidischen Metrik. Hinweis: Betrachte eins durch die Folge, wende die Bernouillsche Ungleichung an und gehe
wieder zu den Kehrwerten über!
√
√
- ( 9n2 + 2n + 1 − 3n)n∈N in R versehen mit der euklidischen Metrik.
4. Sind folgende Folgen konvergent/divergent? Begründen Sie ihre Antwort!
- ((1 − n1 )n )n∈N in R versehen mit der euklidischen Metrik. Hinweis: Verwenden Sie Bsp. 1.
- ((−1 + 2i +
1−i 10
n )
− 1)n∈N in C versehen mit der euklidischen Metrik.
5. Untersuchen Sie folgende rekursiv definierte Folge (xn )n∈N auf Konvergenz und
berechnen Sie gegebenenfalls den Grenzwert!
xn+1 =
1
xn + xn−1 , n ≥ 1, x1 = 1.
2
Hinweis: Überprüfen Sie zuerst auf Monotonie und Beschränktheit. Beweis! Der
Grenzwert s (falls existent) erfüllt s = limn→∞ xn = limn→∞ xn+1 = 21 s + s−1 .
6. Untersuchen Sie folgende rekursiv definierte Folge (xn )n∈N auf Konvergenz und
berechnen Sie gegebenenfalls den Grenzwert!
xn+1 =
xn + 2
, x1 = a > 0.
xn + 1
Hinweis: Gewinnen Sie aus den ersten Folgegliedern eine Vermutung über das
Wachstumsverhalten der Folge und beweisen Sie diese.
7. Sind folgende metrische Räume vollständig oder nicht? Begründen Sie ihre Antwort! Dabei ist d2 die euklidische Metrik.
- (C \ {0}, d2 ).
- ([0, 1] ∪ [2, 3], d2 ).
- (Z, d2 ) (Betrachten Sie Z als Teilmenge von R).
8. Ist die Folge (an )n∈N konvergent, divergent, bestimmt divergent? Berechnen Sie
gegebenenfalls ihren Grenzwert!
q
- an = n(1 − 1 − 1n ),
- an =
√
n5 +3
,
q
q
√
√
- an = n + n − n − n.
n2 −2n+6
9. Ist die Folge (an )n∈N konvergent, divergent, bestimmt divergent? Berechnen Sie
gegebenenfalls ihren Grenzwert!
- an =
1
√
,
n
n!
2
- an = (1 + 1n )n ,
√n
- an = an + bn , wobei a, b ∈ R, 0 ≤ a ≤ b.
10. Mit der Notation aus dem entsprchenden Beispiel vom 5. Übungsblatt, weise
man nach, dass für jedes (zn )n∈N∪{0} ∈ D die Folge (an )n∈N mit
an = z0 +
n
X
j=1
zj
1
,
bj
eine Cauchyfolge ist. Weiters zeige man, dass zu zwei verschiedenen
(zn )n∈N∪{0} , (wn )n∈N∪{0} ∈ D für die entsprechenden Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N
gilt: limn→∞ an , limn→∞ bn .
Bemerkung: Zusammen mit dem entsprechenden Beispiel vom 5. Übungsblatt
sieht man, dass es über diese Folgen eine bijektive Beziehung zwischen D und R
gibt. Für b = 10 und für Zahlen ≥ 0 ist das genau die bekannte Dezimaldarstellung der reellen Zahlen.