4. ¨Ubung zur Vorlesung Analysis 1

Spieß
4. Übung zur Vorlesung Analysis 1
Wintersemester 2012/13
Abgabe: Fr, 09.11.12
I. Hausaufgaben
Aufgabe 1. (i) Beweise: Für jede natürliche Zahl n ≥ 1 gilt:
n X
n
1
1
1+
≤
< 3.
n
k!
k=0
(ii) Zeige, dass die Folge
1+
1 n
n
n∈N
konvergiert.
Aufgabe 2. Beweise oder widerlege durch ein Gegenbeispiel:
(i) Ist die Folge reeller Zahlen (an )n∈N , an 6= 0 bestimmt divergent gegen
+∞, so ist ( a1n )n∈N eine Nullfolge.
(ii) Ist die Folge reeller Zahlen (an )n∈N , an 6= 0 eine Nullfolge, so ist ( a1n )n∈N
bestimmt divergent gegen +∞ oder −∞.
(iii) Ist die Folge positiver reeller Zahlen (an )n∈N eine Nullfolge, so ist ( a1n )n∈N
bestimmt divergent gegen +∞.
Aufgabe 3. (i) Es sei 0 < q < 1 und (xn )n∈N eine Folge reeller Zahlen mit
|xn+1 − xn | < q |xn − xn−1 | für alle n. Zeige, dass (xn )n∈N eine Cauchyfolge
ist.
(ii) Zeige mit Hilfe des Cauchykriteriums, dass die rekursiv definierte Folge
a1 = 1, an+1 = 1 + a1n konvergent ist und berechne ihren Grenzwert.
Aufgabe 4. Eine Funktion f : R → R heißt monoton wachsend, falls
f (x) ≤ f (y) für alle x, y ∈ R mit x < y gilt. Es sei f : R → R monoton wachsend und es seien a, b ∈ R mit a < b. Ferne gelte f (a) > a und
f (b) < b. Zeige, dass f mindestens einen Fixpunkt besitzt, das heißt, es gibt
ein x ∈ R mit f (x) = x. (Hinweis: Betrachte das Supremum der Menge
{y ∈ R : a ≤ y ≤ b, y ≤ f (y)}.)
II. Präsenzaufgaben
Aufgabe 5. Entscheide, ob diese Folgen konvergent sind, und bestimme
gegebenenfalls den Grenzwert:
1 n
an = 5
,
n 5
5n4n + (3n + 1)2
√
bn =
,
3n2n + 2
13 + 23 + ... + n3
cn =
.
n4
Aufgabe 6. Es sei (an )n∈N eine gegen +∞ bestimmt divergente Folge und
(bn )n∈N eine weitere Folge reeller Zahlen. Zeige:
(a) Ist (bn )n∈N nach unten beschränkt, so ist (an + bn )n∈N bestimmt divergent
gegen +∞.
(b) Divergiert (bn )n∈N bestimmt gegen −∞, so kann jeder der folgenden Fälle
eintreten:
(i) limn→∞ (an + bn ) = +∞,
(ii) limn→∞ (an + bn ) = −∞,
(iii) limn→∞ (an + bn ) ∈ R,
(iv) (an + bn )n∈N ist weder konvergent noch bestimmt divergent.
Aufgabe 7. Es sei (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen, die gegen den Grenzwert a ∈ R konvergiert. Zeige, dass auch jede Teilfolge (ank )k∈N gegen a
konvergiert.