Analysis I - TU Ilmenau

Institut für Mathematik
Carsten Trunk
Philipp Schmitz
Übungsblatt 6
26. November 2015
Analysis I
im Wintersemester 2015/2016
Änderungen: Die Vorlesungen am Dienstag, den 24. November 2015, und Freitag, den 27. November fallen aus. Am Montag, den 30. November 2015, findet statt der Übung eine Vorlesung
beginnend um 17:10 Uhr statt. Der Übungstermin wird am Freitag, den 4. Dezember 2015,
zur regulären Vorlesungszeit nachgeholt.
Abgabe: In der Vorlesung am 30. November 2015
Aufgabe 17: Für zwei positive Zahlen a, b ∈ R sei (xn )n∈N eine Folge mit x0 := b und
xn+1 := 12 xn + xan für jedes n ∈ N.
√
(i) Betrachte die Folge (dn )n∈N mit dn := xn − a für n ∈ N. Zeige, die Gültigkeit der
Beziehung
dn+1 =
d2n
2xn
für jedes n ∈ N. Folgere daraus, dass zum einen dn ≥ 0 und zum anderen dn+1 ≤ 12 dn
für alle n ∈ N gilt.
(ii) Bestimme nun den Grenzwerte der Folge (xn )n∈N .
Aufgabe 18: Es seien (an )n∈N und (bn )n∈N zwei Folgen reeller Zahlen. Beweise oder widerlege
die folgenden Aussagen.
(i) Die Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N konvergieren genau dann, wenn die Folgen (an + bn )n∈N
und (an − bn )n∈N konvergieren.
(ii) Wenn die Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N divergieren, so divergieren die Folgen (an + bn )n∈N
und (an − bn )n∈N .
Aufgabe 19: Es seien (an )n∈N , (bn )n∈N und (cn )n∈N Folgen reeller Zahlen mit an ≤ bn ≤ cn
für alle n ∈ N. Die beiden Folgen (an )n∈N und (cn )n∈N seien konvergent mit
lim an = n→∞
lim cn = a ∈ R.
n→∞
1
Institut für Mathematik
Carsten Trunk
Philipp Schmitz
Zeige, dass dann auch die Folge (bn )n∈N gegen a konvergiert.
Gilt die Behauptung noch, wenn nur noch an ≤ bn ≤ cn für alle n ≥ N für eine feste natürliche
Zahl N vorausgesetzt wird? Begründe deine Antwort.
Bestimme nun mit Hilfe der obigen Behauptung den Grenzwert der Folge (bn )n∈N mit
1
−n+
bn =
2n
s
n2 +
1
n
für alle n ∈ N.
Aufgabe 20: Wir betrachten den Körper der komplexen Zahlen
C aus
Aufgabe 9 mit der
Betragsnorm | · | : C × C → R. Eine Folge komplexer Zahlen (xn , yn )
heißt konvergent
n∈N
gegen (x, y) ∈ C, wenn für jedes ε > 0 eine natürliche Zahl N existiert, sodass für alle n ≥ N
(xn , yn ) ⊕ (−x, −y)
<ε
gilt.
genau dann gegen (x, y) ∈ C konvergiert,
Zeige, dass eine Folge komplexer Zahlen (xn , yn )
n∈N
wenn die Folge (xn )n∈N gegen x und die Folge (yn )n∈N gegen y konvergiert.
Prüfe anschließend die nachstehenden Folgen auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls
deren Grenzwerte
(i) (xn , yn )
(ii) (xn , yn )
(iii) (xn , yn )
n∈N
=
n
1
√
1
, √
2 n 2
,
n∈N
= (0, 1)n
n∈N
= (n, n1 )
n∈N
n∈N
n∈N
,
.
Hinweis: Für (x, y) ∈ C und n ∈ N bezeichne (x, y)n die n-fache Multiplikation der Zahl (x, y)
mit sich selbst, das heißt
(x, y)n := (x, y) · · · (x, y)
|
{z
n Faktoren
2
}