Höhere Mathematik für Physiker II

Universität Heidelberg
Sommersemester 2013
Aufgabenblatt 7
31. Mai 2013
Übungen zur Vorlesung
Höhere Mathematik für Physiker II
Prof. Dr. Anna Marciniak-Czochra
Dipl. Math. Alexandra Köthe
Abgabetermin: 7. Juni 2013, 11:14 Uhr, im Foyer des Instituts für Reine Mathematik (INF 288).
Bemerkung: Wir betrachten R und C mit der Standardmetrik versehen.
Aufgabe 1
Sind die folgenden Reihen in R konvergent? Wenn ja, dann bestimmen Sie ihren Grenzwert!
√
P∞ √
a)
n=1 ( n − n − 1)
P∞
2n+1
b)
n=1 n2 (n+1)2
P∞ n!
c)
n=1 nn
P∞ (n+1)n−1
d)
n=1 (−n)n
6 Punkte
Aufgabe 2
Für n ∈ N sei
n
X
(−1)n
an−k bk .
und cn =
an = bn = √
n+1
k=0
P∞
P∞
P
Zeigen Sie, dass die Reihen ∞
n=0 cn
n=0 bn in R konvergieren, aber ihr Cauchy-Produkt
n=0 an =
nicht.
2 Punkte
Aufgabe 3
Wir definieren den Binomialkoeffizent nx für reelle Zahlen x und natürliche Zahlen n durch
Y
n
x
x−j+1
x(x − 1) · · · · · (x − n + 1)
x
=
=
insbesondere
= 1.
n
j
n!
0
j=1
a) Sei x ≥ 1 eine reelle Zahl. Zeigen Sie, dass die Reihe
∞ X
x
s(x) :=
n
n=0
in R absolut konvergiert.
b) Zeigen Sie die Funktionalgleichung
s(x + y) = s(x)s(y)
für alle x, y ≥ 1.
c) Berechnen Sie s(n + 12 ) für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1.
4 Punkte
Aufgabe 4
a) Zeigen Sie mithilfe des Produktsatzes
∞
X
1
=
(n + 1)z n
2
(1 − z)
für alle z ∈ C mit |z| < 1.
n=0
b) P
Zeigen Sie: Konvergieren die Reihen
∞
n=0 an bn absolut.
P∞
2
n=0 an
und
P∞
2
n=0 bn
mit an , bn ∈ R, so konvergiert
4 Punkte