Mathematik für Physiker und Computational Science

Mathematik für Physiker und Computational Science Studenten
5. Übung – Zahlenreihen
1. Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz
∞ q
∞
P
P
n+2
n 1
(a)
(b) (HA)
10
2n3 −1
(d)
(g)
(j)
n=1
∞
P
(arctan n)n
2n
(e) (HA)
ln n
n3
(h) (HA)
n=1
∞
P
n10
10n
n=1
∞
P
n=1
(k) (HA)
n=1
∞
P
n=1
∞
P
(c)
1
2n−1
(f)
(−1)n (e − (1 + n1 )n )
(i)
n=1
∞ √
P
√
n+1− n
n
(l)
n=1
2. Geben Sie die Summe s =
∞
P
∞
P
n=1
∞
P
n=2
∞
P
6n
n!
√
1
n(n−1)
n!
nn
n=1 ∞
P
1
n2
n=2
−
1
(n−1)2
an folgender Reihen an:
n=1
1
(−d ∈
/ N),
(d + n)(d + n + 1)
1
1
(c) (HA) an = ,
(d) (HA) an =
,
n!
n(n + 1)
(a) an =
3. Schreiben Sie die folgenden Reihen in der Form
∞
P
1
(b) (HA) an = √ ,
n
1
(e) (HA) an = 2
.
4n − 1
an und untersuchen Sie, ob die
n=1
Reihen konvergieren oder sogar absolut konvergieren:
2 3 4 5
2 4
6
8
(a) (HA) + + + + . . . ,
(b) (HA) + +
+
+ ...,
3 4 5 6
3 9 27 81
(c) 1 +
1·2 1·2·3
+
+ ...,
1·3 1·3·5
(e) (HA) 1 +
(g) 1 −
(d) (HA) 1 +
2
4
8
+ + + ...,
2! 3! 4!
1
1
1
+
+
+ ...,
100 200 300
1
1
1
(f) (HA) 1 − √ + √ − √ ± . . . ,
2
3
4
1
1
1
1
1
+ − 2 + − 2 ± ... .
2
2
3 4
5 6
4. Für welche x ∈ R \ N ist die Reihe
∞
X
n=1
xn
(x − 1)(x − 2) · · · · · (x − n)
konvergent?
5. (a) Verwenden Sie den binomischen Satz um zu zeigen, dass für n ∈ N gilt
√
2
n
n ≤1+ √ .
n
√
(b) Zeigen Sie, dass lim n n = 1 ist! Folgern Sie daraus, dass für a > 0 auch
n→∞
√
n
lim a = 1
n→∞
ist!
1
(c) Untersuchen Sie die Zahlenfolge (xn )n∈N mit xn =
∞
n
P
(−1)
√
(d) Konvergiert die Reihe
n n−1 ?
(e) Konvergiert die Reihe
n=1
∞
P
(−1)n (1 −
√
n
√
n
n auf Monotonie!
n) ?
n=1
(f) Konvergiert die Reihe aus (e) absolut?
6. Wir definieren mit Hilfe der harmonischen Reihe
P
1
n
folgende Reihen:
n∈N
(a) HA: Wir summieren nur über gerade Zahlen aus N.
(b) HA: Wir summieren nur über durch 10 teilbare natürliche Zahlen.
(c) Wir summieren nur über natürliche Zahlen n bei denen in der Dezimaldarstellung
die Ziffer 9 nicht vorkommt.
Welche der so definierten Reihen ist konvergent?
7. Untersuchen Sie, ob die Zahlenfolgen (xn )n∈N Cauchyfolgen sind:
(a) xn = n1 ,
(b) xn =
n
P
1
.
k2
k=1
8. Zeigen Sie, dass
∞
P
n=1
1
2
+
1 n
n
< e2 ist.
5. Hausaufgabe
1. Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
2007 ∞
∞
∞ √ √
P
P k!
P
P
√
n
π
1 n
−
,
(b)
,
(c)
n( n + 1 − n).
(a)
+
n
k
4
6n
5
5
n=1
n=1
k=1
n=1
2. Der Turm von Babylon werde durch Aufeinanderstapeln von Würfeln Wn der Kantenlänge n1 nachgebaut, wobei n = 1, 2, 3, . . . ist. Die Bodenfläche des (n + 1)-ten
Würfels werde dabei auf die Mitte der Dachfläche des n-ten Würfels gesetzt.
(a) Wie hoch wird der Turm?
(b) Kann der Turm mit endlich viel Farbe angestrichen werden?
(c) Kommen die Baumeister mit endlich viel Beton aus, wenn jeder Würfel ganz aus
Beton besteht?
3. Für n > 1 gilt offenbar
1
1
1
< 2 <
.
n(n + 1)
n
n(n − 1)
Man leite daraus eine obere und untere Schranke für die folgende Reihe her:
∞
X
1
.
n2
n=1
4. Lösen Sie alle mit (HA) gekennzeichneten Aufgaben der 5. Übung!
2