Analysis 2* ¨Ubungsblatt 3

Humboldt-Universität zu Berlin
Institut für Mathematik
Prof. A. Mielke, Dr. A. Fauck, A. Stephan
S. Hensel, D. Duan, C. Sirotenko
Analysis 2*
SoSe 2017
Übungsblatt 3
Schriftliche Abgabe: Dienstag 9. Mai 2017
Aufgabe 3.1 (4 Punkte, Reihensummen) Es sei s∗ :=
a)
∞
X
k=0
3
1
= s∗ ,
2
(2k+1)
4
b) 1 +
P∞
1
n=1 n2 .
Zeigen Sie
1
1
1
1
1
1
2
+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... = s∗ .
2
5
7
11
13
17
19
3
Aufgabe 3.2 (1+2+1 Punkte, Grenzwertvertauschung)
a) Entscheiden Sie durch explizite Rechnung, ob sich die Grenzwerte bzw. Integral und
Grenzwert vertauschen lassen:
Z ∞
j2
n−1
(i) lim lim 2 2 ,
(ii) lim
dx.
n→∞
k→∞ j→∞ k +j
xn
1
b) Finden Sie eine Folge von differenzierbaren Funktionen fn : R → R, sodass f (x) :=
limn→∞ fn (x) für alle x existiert und f differenierbar ist, aber limn→∞ fn0 (x) existiert
nicht oder limn→∞ fn0 (x) 6= f 0 (x).
Aufgabe 3.3 (6 Punkte, Doppelreihen)
a) Zeigen Sie, dass
∞ X
∞
X
1
= 1 gilt.
jk
k=2 j=2
b) Für welche α ∈ R konvergiert die Doppelreihe
∞ X
∞
X
k=1 j=1
c) Zeigen Sie, dass für alle |z| < 1 die Identität
∞ X
∞
X
k=1 j=1
1
?
(j+k−1)α
z max{j,k} =
z(z+1)
gilt.
(1−z)2
Hinweis: Zeichnen Sie sich für die Doppelreihen jeweils das Feld aller Summanden auf
und überlegen Sie sich, wie Sie geschickt aufsummieren können, um die Reihenwerte abzuschätzen oder explizit berechnen zu können.
Aufgabe 3.4 (6 Punkte, absolut und bedingt konvergente (Doppel-)Reihen)
P
P
a) P
Sei ∞
sei bn := 2−n
· nk=0 2k ak . Zeigen Sie, dass dann
k=0 ak absolut konvergent und
P
P
∞
∞
∞
n=0 bn absolut konvergiert und
n=0 bn = 2
k=0 ak gilt.
P
b) Wie lautet der entsprechende Sachverhalt für cn = α−n nk=0 αk ak ?
c) Beweisen Sie die Aussage aus (a), ohne die Voraussetzung
“absolut”. Hinweis:
VerPn
Pn
gleichen Sie hierfür die beiden
Folgen sn := 2 k=0 ak und s̃n :=
k=0 bk und
P
schreiben Sie dazu s̃n = nk=0 αn,k ak mit geeigneten αn,k . Für festes k gilt dann
limn→∞ αn,k = 2.
bitte wenden
1
Übungsblatt 3
Zusatzaufgabe 3.Z (3 Punkte, Riemannsche Zeta-Funktion ζ) Es sei pk die k-te
Primzahl, also p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, .... Es sei JN die Menge der natürlichen Zahlen,
deren Primfaktoren alle in der Menge {p1 , ..., pN } liegen, und zusätzlich 1. Zeigen Sie für
alle α > 0 die Identität
N
X 1
Y
1
=
nα
1 − p−α
k
n∈J
k=1
und falls α > 1 außerdem
N
∞
∞
X
Y
1
1
ζ(α) :=
.
=
nα
1 − p−α
k
n=1
k=1
Die folgenden Aufgaben werden teilweise in den Übungen besprochen
Aufgabe A: Berechnen Sie für |q| < 1 die Reihen
∞
X
nq n
∞ X
∞
X
(j+k) q j+k .
und
n=1
k=1 j=1
P
Aufgabe B: Zeigen Sie: Ist (bn )n∈N konvergent und ∞
n=1 an absolut konvergent, so ist
P
∞
a
b
auch
absolut
konvergent.
Was
passiert,
wenn
man “absolut” weglässt?
n=1 n n
Aufgabe C: Das Cauchy-Produkt zweier Reihen
∞ X
n
X
n=0
P∞
n=0 an
und
P∞
m=0 bm
ist definiert als
ak · bn−k .
k=0
P∞
P∞
Zeigen Sie: Sind n=0 an und n=0 bn beide absolut konvergent, so ist auch ihr CauchyProdukt absolut konvergent und es gilt
∞
∞
∞ X
n
X
X
X
an ·
bn =
ak · bn−k .
n=0
n=0
n=0
k=0
Aufgabe D: Zeigen Sie
∀ z, w ∈ C :
∞
∞
∞
X
z k X wm X (z+w)k
.
·
=
k!
m!
k!
m=1
k=1
k=1
P
3 n
Zeigen Sie, dass das Cauchy-Produkt der beiden folgenden Reihen ∞
n=0 ( 4 ) ist, obwohl
beide Reihen nicht konvergieren:
∞ ∞ X
X
3 n
1 3 m 2 m
und
+ 3 .
1−
2
3 4
3
n=1
m=0
Aufgabe E: Zeigen Sie, dass das Cauchy-Produkt noch dann noch (bedingt) konvergiert, wenn eine der beiden Reihen lediglich (bedingt) konvergiert und die andere absolut
konvergiert.
2