1 Vorlesung 8

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Vorlesung 8
P
Definition 1.1.
xk Reihe in einem noermierten VR (V, k·k : (xk )(sk )) in V und Sk = x0 +
k≥0
... + xk ; Reihe Konvergent ⇐⇒ (Sk ) konvergent.
lim sk = s heißt Summe der Reihe
∞
P
P
xk asbolut konvergent ⇐⇒
kxk k < ∞
k=0
Satz 1.1. Sei (V, k·k) ein Banachraum (d.h. jede Cauchy-Folge ist konvergent) Dann:
(i) Cauchy-Kriterium für Reihen:
X
xk konvergent ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃kε > 0 ∀m > l ≥ kε : kxl+1 + ... + xm k < ε
k≥0
(ii)
P
xk absolut konvergent =⇒
k≥0
P
xk konvergent
k≥0
Definition 1.2. Eine Banachalgebra ist ein Vektorraum (V, +) mit einer Multiplikation · : V ×
V −→ V und einer Norm k·k so dass
(i) (V, k·k)
(ii) (V, + ·) assoziative Algebra
(iii) Norm ist submultiplikativ:
∀x, y ∈ V kxyk ≤ kxk · kyk
Beispiele
1. (C([a,b]), k·k[a,b] = k·k) stetige Funktion von [a,b] nach C mit sup-Norm
(f · g)(x) = f (x) · g(x) übliche Multiplikation von Funktionen
∀x ∈ [a, b] : |(f g)(x)| = |f (x) · g(x)| ≤ kf k · kgk
kf gk := sup |(f g)(x)| ≤ kf k · kgk
x∈[a,b]
2.
V = Mn×n (k)

A = (aij )1≤i,j≤n
kAk2 := 
n
X
k = R, C
 21
|aij |2 
i,j=1
(Mn×n (K), k·k2 ) Banachalgebra
kA · Bk2 ≤ kAk2 · kBk2
Satz 1.2. Sei (V, k·k ) eine Banachalgebra
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(i) Für alle x ∈ V konvergiert
P
k≥0
xk
k!
absolut. Die Summe wird ex = exp(x) =
∞
P
k=0
(ii) Geometrische Reihe: Seie x ∈ V, kxk < 1. Dann konvergiert
P
xk
k!
(Exp-Reihe)
xk absolut und
k≥0
1
1−x
=
∞
P
xk = (e − x), wobei e das Einselement in V.
k=0
Beweis
(i) Beide Reihen sind absolut konvergent:
∞
k
P
P kxkk
kxk k
kxk
≤ kxkk (wegen Sub-multipl.) und
konvergiert.
k! < ∞, weil x
k! = e
k=0
(ii)
(e − x) (e + x + ... + xk ) = e − xk+1
{z
}
|
Partialsumme
lim (e − x)(e + x + ... + xk ) = lim (e − xk+1 )
k→∞
k→∞
(e − x) lim (e + ... + xk ) = e
weil kxk < 1
k→∞
k+1 x
≤ kxkk+1 −→ 0
k −→ ∞
!
∞
X
(e − x)
xk = e −→ Beh.
k=0
Wobei wir xk → x k → ∞ xk · y → xy (k → ∞)
Dann ist A eine Matrix in k
P Ak
=⇒ A ∈ Mn×n
eA := exp(A) :=
k! ∈ Mn×n (k)
k≥0
1.1
kAk2 < 1 →
Topologie eines metrischen Raumes
Definition 1.3. (X,d) metrischer Raum, a ∈, r > 0
Br (a) = {x ∈ X : d(a, x) < r}
ist eine offene Kugel mit Mittelpunkt a und Radius r
B r (a) = {x ∈ X : d(a, x) ≤ r}
ist eine abgeschlossene Kugel mit Mittelpunkt a und Radius r
Sr (a) = {x ∈ X : d(a, x) = r}
ist eine Sphäre mit Mittelpunkt a und Radius r.
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∞
P
k=0
Ak = (1 − A)−1
Beispiele.
(i)
d2 (x, y) = |x − y|
(X, d) = (R, d2 )
Br (a) = (a − r, a + r)
B r (a) = [a − r, a + r]
Sr (a) = {a − r, a + r}
(ii)
(X, d) = (R2 , d2 )
d2 (x, y) =
p
(x1 , −y1 )2 + (x2 + y2 )2
Br (a) = offene Kreisscheibe mit Mittelpunkt a, Radius r
Sr (a) = Kreis mit Mittelpunkt a, Radius RB r (a) = Br (a) ∪ Sr (a)
(iii) (X, d) = (R2 , d1 )
(iv) (X, d) = (R2 , d∞)
d1 = (x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 |
d∞ (x, y) = max{|x1 − y1 |, |x2 − y2 |}
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Definition 1.4. Sei (X,d) ein metrischer Raum
V ⊂ X heißt offen, wenn ∀x ∈ V ∃r = rx > 0Br (x) ⊂ V
F ⊂ X heißt abgeschlossen, falls X\F offen.
Beispiele
(i) Offene (bzw. abgeschlossene) Intervalle in R sind offen (bzw. abgeschlossen) in (R, d2 )
(ii) Br (a) ist eine offene Menge:
∀x ∈ Ba (a)∃a > 0 : Ba (x) ⊂ Br (a)
mit a := r − d(a, x) (R2 , d(a, x) = ka − xk)
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B r (a) ist abgeschlossen und in (R2 , d2 ) ist sie nicht offen: für x ∈ B r (a) mit d(x, a) = r, a > 0 mit
Ba (x) ⊂ Br (a)
Satz 1.3. (a) X, ∅ sind offen.
• Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.
• Der Durchschnitt endlich vieler offenen Mengen ist offen.
(b) X, ∅ abgeschlossen.
• Vereinigung endlich vieler abgeschlossnen Mengen sit abgeschlossen.
• Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossenen Mengen ist abgeschlossen.
Beweis zu (a), Durschschnitt:
Vorbemerkung:
• r<R
l
T
•
Br (a) ⊂ BR (a)
Brj (a) = Br (a), r = min{rj : 1 ≤ j ≤ l}
j=1
Seien U1 , ...Ul offen, x ∈ U1 , ∩ U2 ∩ ... ∩ Ul
∀j ∈ {1, ..., l}x ∈ Uj offen
∀j ∈ {1, ..., l}∃rj > 0 : Brj (x) ⊂ U0
l
T
Brj (x) ⊂ U1 ∩ ... ∩ Ul
j=1
Br (x), r = min rj
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Zu (b) benutzt man die Regel von de Morgan:


l
l
[
\
C
Fj  =
⊂ Fj
j=1

C
l
\
j=1

Fj  =
j=1
l
[
j=1
wobei CA = X\A
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⊂ Fj