Unendliche Reihen

Kapitel 1
Unendliche Reihen
1.1
Einführung und erste Beispiele
Unter einer reellen, unendlichen Reihe verstehen wir einen Ausdruck der Form
∞
∑ ak = a1 + a2 + . . . + an + an+1 + . . .
k=1
mit reellen Zahlen ak ∈ R� k ∈ �.
Beispiel 1. Betrachte die Reihe
∞
1
1
1
1
1
∑ 2k = 2 + 4 + 8 + 16 + . . . = 1
k=1
1
.
2k
Dass sich diese Summe tatsächlich zu 1 addiert, lässt sich an der Formel
mit ak =
für die geometrische Reihe verifizieren oder auch einfach an einem Bild.
Definition 1.1. Für einen natürlichen Index n ∈ � bezeichnen wir mit
Sn :=
n
∑ ak = a1 + a2 + . . . + an
k=1
die n-te Partialsumme der Reihe.
Die Theorie der unendlichen Reihen macht wesentlich von der Theorie der reellen
Zahlenfolgen Gebrauch, genauer in Gestalt der Folge ihrer Partialsummen �Sn }n∈� .
Definition 1.2. Die Reihe
∞
∑ ak heißt konvergent, falls die Folge �Sn}n∈� ihrer Par-
k=1
tialsummen konvergiert, d.h. falls folgender Grenzwert existiert
n
∑ ak .
n→∞
S := lim Sn = lim
n→∞
k=1
Nicht konvergente Reihen heißen divergent.
3
KAPITEL 1. UNENDLICHE REIHEN
4
Im Falle der Konvergenz schreiben wir auch
S=
∞
∑ ak < ∞ .
k=1
Beispiel 2. Die Folge
Sn :=
n
∑k=
k=1
konvergiert nicht, d.h. die Reihe
n�n + 1)
2
∞
∑ k ist divergent.
k=1
Aufgabe 1. Beweisen Sie die Identität in diesem Beispiel.
Das Auffinden handlicher Kriterien, vermittels derer wir über Konvergenz oder Divergenz vorgelegter Reihen entscheiden können, steht im Zentrum unserer folgenden
Untersuchungen. Dabei orientieren wir uns hauptsächlich an Walter [2].
Zwei notwendige Konvergenzkriterien, deren Beweise wir als Übung belassen, wollen
wir bereits an dieser Stelle vorstellen. Die Reihe aus dem vorigen Beispiel erfüllt keine
dieser Bedingungen.
Satz 1.1. Falls
∞
∑ ak konvergiert, so bilden notwendig
k=1
(i) �ak }k∈� eine Nullfolge;
(ii) und �Rn }n∈� mit Rn :=
∞
∑ ak eine Nullfolge.
k=n
Aufgabe 2. Beweisen Sie diesen Satz.
1.2
Majoranten- und Minorantenkriterium
Bei unseren nächsten beiden Kriterien, über Konvergenz oder Divergenz zu entscheiden, handelt es sich um folgende Vergleichskriterien.
Satz 1.2. Es sind folgende beide Aussagen erfüllt.
(i) Gilt 0 ≤ ak ≤ ck für fast alle k�1 und ist die Reihe
∞
∞
k=1
k=1
∞
∑ ck konvergent, so ist auch
k=1
∞
∑ ak konvergent. Wir sagen, die Reihe ∑ ck majorisiert ∑ ak .
1 D.h.
es gilt 0 ≤ ak ≤ ck für alle k ≥ k0 mit einem gewissen Index k0 ∈ �.
k=1
1.3. ALTERNIERENDE REIHEN
5
(ii) Gilt 0 ≤ dk ≤ ak für fast alle n� und ist die Reihe
∞
∞
∑ dk divergent, so ist auch
k=1
∑ ak divergent.
k=1
Beweis. Wir zeigen nur die Aussage (i) und nehmen zur Vereinfachung ck ≥ ak ≥ 0
für alle k ∈ � an. Die Folge �Sn }n∈� der Partialsummen Sn =
n
∑ ak ist dann monoton
k=1
wachsend. Nach Voraussetzung über die Konvergenz der majorisierenden Partialsummenfolge mit Elementen
n
∑ ck gibt es außerdem ein C ∈ �0� ∞) mit
k=1
Sn ≤ C
für alle n ∈ �.
Also ist �Sn }n∈� beschränkt und monoton wachsend und daher konvergent.
Aufgabe 3. Wie muss der Beweis abgeändert werden, um die volle Aussage (i) des
Satzes zu beweisen? Zeigen Sie schließlich auch die Aussage (ii).
Beispiel 3. Der französische Gelehrte Nikolaus von Oresme (1320-1382) wies die Divergenz der harmonischen Reihe
∞
1
1
1
1
∑ k = 1 + 2 + 3 + 4 + ...
k=1
wie folgt nach: Zunächst sind
1 1 1
+ > �
3 4 2
1 1 1 1 1
+ + + > �
5 6 7 8 2
1
1
1
+ ...+
>
9
16 2
usw.,
und diese Abschätzungen führen auf
∞
1
∞
1
∑ k ≥ ∑ 2 = ∞.
k=1
1.3
k=1
Alternierende Reihen
Wir bezeichnen eine Reihe
∞
∑ ak als alternierend, wenn ihre Glieder ak abwechselnd
k=1
positiv und negativ sind, z.B.
1 1 1
π
= 1 − + − + ...
4
3 5 7
Auf G.W. Leibniz geht nun folgendes Konvergenzkriterium zurück.
Satz 1.3. Ist die Reihe
∞
∑ ak alternierend, und konvergiert die Folge der Absolutbe-
k=1
träge der Glieder streng monoton gegen Null, so ist die Reihe auch konvergent.
KAPITEL 1. UNENDLICHE REIHEN
6
Beweis. Ohne Einschränkung sei ak = �−1)k+1 bk mit reellen Koeffizienten bk ≥ 0;
eventuell muss die gesamte Reihe mit −1 multipliziert werden. Die Partialsummen
S2k = �b1 − b2 ) + �b3 − b4) + �b5 − b6) + . . . + �b2k−1 − b2k )
mit geradem Index 2k wachsen wegen bk − bk+1 > 0 mit wachsendem k� während die
Partialsummen
S2k+1 = b1 − �b2 − b3) − �b4 − b5) − . . . − �b2k − b2k+1)
mit ungeradem Index 2k + 1 mit wachsendem k abnehmen. Beachte ferner
0 < S2k+2 = b1 − b2 + b3 − b4 + b5 − . . . − b2k + b2k+1 − b2k+2
= S2k+1 − b2k+2 < S2k+1 < b1 �
weshalb beide Teilfolgen durch b1 beschränkt sind, und ihren Monotonien entnehmen
wir die Existenz der Grenzwerte
Sg := lim S2k
k→∞
und
Su := lim S2k+1 .
k→∞
Die bekannten Rechenregeln für konvergente Zahlenfolgen liefern jetzt
Su − Sg = lim S2k+1 − lim S2k = lim �S2k+1 − S2k ) = lim b2k+1 = 0
k→∞
k→∞
k→∞
k→∞
zusammen mit der Voraussetzung |ak | → 0� und demnach gilt Su = Sg . Das zeigt die
Konvergenz der ursprünglichen Reihe.
Beispiel 4. Die Reihe
1.4
∞
�−1)k
√ konvergiert nach dem Leibnizkriterium.
k
k=1
∑
Cauchys Konvergenzkriterium
Wir wollen das Cauchysche Konvergenzkriterium für reelle Zahlenfolgen wiederholen:
−→ Die Reihe �Sn }n∈� konvergiert genau dann, wenn zu jedem ε > 0 ein natürliches
N = N�ε ) existiert mit
|Sn − Sm | < ε
für alle m� n ≥ N�ε ).
Dieses Kriterium wenden wir nun auf die Partialsummenfolge �Sn }n∈� einer vorgelegten Reihe an.
Satz 1.4. (Cauchys Konvergenzkriterium für Reihen)
Die Folge
∞
∑ ak konvergiert genau dann, wenn zu jedem ε > 0 ein N = N�ε ) existiert
k=1
mit der Eigenschaft
|Sn − Sm | = |am+1 + am+2 + . . . + an| < ε
für alle n ≥ m ≥ N�ε ).
1.5. ABSOLUTE KONVERGENZ
7
Aufgabe 4. Beweisen Sie diesen Satz.
Beispiel 5. Die harmonische Reihe
2m
1
m
1
mit ak =
1
1
k=1
können wir wie folgt abschätzen
S2m − Sm =
∞
∑k
1
1
k
ist divergent, denn mit n = 2m
1
1
1
∑ k − ∑ k = m + 1 + m + 2 + . . . + 2m > m · 2m = 2 .
k=1
k=1
Es liegt also keine Cauchyfolge vor, was die behauptete Divergenz zeigt.
1.5
Absolute Konvergenz
Auf unserem Weg, eine möglichst umfangreiche Theorie unendlicher Reihen zu entwickeln, führen wir nun einen weiteren, äußerst nützlichen Begriff ein.
Definition 1.3. Die Reihe
lutglieder, d.h. falls
∞
∞
∑ ak heißt absolut konvergent, falls die Reihe ihrer Abso-
k=1
∑ |ak | konvergiert.
k=1
Unter Benutzung der bekannten Dreiecksungleichung für endliche Summen in Verbindung mit vorigem Cauchyschen Konvergenzkriterium beweist man den
Satz 1.5. Eine absolut konvergente Reihe ist notwendig konvergent. Insbesondere gilt
�
�
� ∞ �
∞
�
�
� ∑ ak � ≤ ∑ |ak | < ∞.
� k=1 � k=1
Aufgabe 5. Beweisen Sie diesen Satz.
Die Umkehrung dieser Aussage ist allerdings falsch: Es gibt konvergente Reihen, die
nicht absolut konvergent ist. Das zeigt unser nächstes
Beispiel 6. Die alternierende Reihe
1−
1 1 1
+ − + ...
2 3 4
konvergiert nach dem Leibnizschen Konvergenzkriterium. Die zugehörige Reihe der
Absolutglieder, also die harmonische Reihe, divergiert jedoch.
1.6
Wurzelkriterium und Quotientenkriterium
Hierbei handelt es sich um zwei in vielen Beispiel einfach anzuwendende, aber sehr
mächtige Kriterien zum Nachweis absoluter Konvergenz.
KAPITEL 1. UNENDLICHE REIHEN
8
Satz 1.6. (Wurzelkriterium)
Existiert eine Zahl q ∈ �0� 1)� so dass
�
k
|ak | ≤ q < 1
so ist die Reihe
für fast alle k�
∞
∑ ak absolut konvergent. Ist aber
k=0
so ist die Reihe divergent.
�
k
|ak | ≥ 1
für unendlich viele k�
Beweis. Ist |ak | ≤ qk mit q ∈ �0� 1)� und zwar ohne Einschränkung für alle k ∈ �� so
liefert das Majorantenkriterium die Behauptung unter Beachtung der Konvergenz der
geometrischen Reihe, genauer
n
n
∞
k=1
k=1
k=1
q
∑ |ak | ≤ ∑ qk ≤ ∑ qk = 1 − q < ∞
für alle n ∈ ��
weshalb die Reihe absolut konvergiert. Im Zusammenhang mit der geometrischen Reihe verweisen wir auf die entsprechenden Übungsaufgaben. Die Aussage zur Divergenz
folgt schließlich aus der Tatsache, dass �ak }k∈� unter der genannten Voraussetzung
keine Nullfolge ist.
Beispiel 7. Die Reihe
∞
∑
k=1
�
k
|ak | =
�
�
gibt es ein k0 ∈ �� so dass
dem Wurzelkriterium.
k
k+1
k
k+1
�k2
�k
�
k
|ak | ≤
ist konvergent, denn wegen
1
1
=�
� −→ e < 1
1 k
1+ k
1
2
< 1 für alle k ≥ k0 � und die Behauptung folgt aus
Satz 1.7. (Quotientenkriterium)
Ist ak �= 0� und existiert ein q ∈ �0� 1) mit
�
�
� ak+1 �
�
�
� a �≤q<1
k
so ist die Reihe
für fast alle k�
∞
∑ ak absolut konvergent. Ist aber
k=1
so ist die Reihe divergent.
für k → ∞
�
�
� ak+1 �
�
�
� a �≥1
k
für fast alle k�
1.7. UMORDNUNG VON REIHEN
9
�
�
�a �
Beweis. Es sei � k+1
ak � ≤ q für alle k ≥ k0 ∈ �. Setzen wir c := |ak0 |� so ist
|ak0 +1 | ≤ q|ak0 | = cq�
|ak0 +2 | ≤ q|ak0 +1 | ≤ cq2
usw.
Wieder majorisiert also die geometrische Reihe, woraus die behauptete Konvergenz
folgt. Den Nachweis der Divergenzaussage belassen wir als Übung.
Beispiel 8. Die Reihe
∞
k2
∑ 2k
ist konvergent. Denn wegen
k=1
�
�
� ak+1 � �k + 1)2 2k
k2 + 2k + 1
1
�
�
−→ < 1
� a � = 2k+1 · k2 =
2k2
2
k
�
�
�a � 3
findet man ein k0 ∈ � mit � k+1
ak � ≤ 4 < 1 für alle k ≥ k0 � und die Behauptung folgt aus
dem Quotientenkriterium.
1.7
Umordnung von Reihen
Endliche Summen kann man nach dem Kommutativgesetz beliebig umordnen - das
Ergebnis wird dadurch nicht beeinflusst. Bei unendlichen Reihen ist beliebiges Umordnen der Summanden in der Regel nicht mehr erlaubt.
Beispiel 9. Bereits unterschiedliches Klammersetzen kann bei divergenten Reihen zu
entsprechend unterschiedlichen Werten führen. Betrachte hierzu die Reihe
1 − 1 + 1 − 1+1− 1+1−1+1−...
Wir setzen Klammern wie folgt:
�1 − 1) + �1 − 1) + �1 − 1) + �1 − 1) + . . . = 0 + 0 + 0 + 0 + . . . = 0�
1 − �1 − 1) − �1 − 1) − �1 − 1) − �1 − 1) . . . = 1 − 0 − 0 − 0 − 0 − . . . = 1.
Was ist nun richtig?
Aufgabe 6. Überlegen Sie sich durch Beispiele bzw. allgemein:
(i) Klammersetzen in einer divergenten Reihe kann Reihenkonvergenz erzeugen.
(ii) Klammersetzen in einer konvergenten Reihe ändert den Wert der Reihe nicht.
Beispiel 10. Umordnen der Reihenglieder kann hingegen auch bei konvergenten Reihen den Wert ändern: So kann man den Wert S der alternierenden harmonischen Reihe
1−
1 1 1 1 1
+ − + − + ...
2 3 4 5 6
wie folgt nach unten und nach oben einschließen
1−
5
1 1
1 1
= < S < = 1− + �
2 2
6
2 3
also
1
5
<S< .
2
6
KAPITEL 1. UNENDLICHE REIHEN
10
Die spezielle Umordnung
� �
� �
�
�
1 1 1
1
1
1
1 1
+
+
+ ...
+ −
+
−
1+ −
3 2
5 7 4
9 11 6
dieser Reihe ist jedoch echt größer als 56 ist - jeder Klammerausdruck ist nämlich positiv, und bereits für den ersten Klammerausdruck gilt 1 + 13 − 21 = 56 .
Der Schlüssel zum Verständnis ist wieder der Begriff der absoluten Konvergenz.
Satz 1.8. (Umordnungssatz)
Eine absolut konvergente Reihe darf man umordnen. Die umgeordnete Reihe ist wieder
absolut konvergent, und die Werte der umgeordneten Reihen stimmen überein.
Beweis. ∗ Wir gehen in mehreren Schritten vor.
1. Es sei ϕ : � → � eine bijektive, d.h. eineindeutige Abbildung der natürlichen Zahlen auf
sich. Eine solche Abbildung realisiert bereits eine Umordnung.
2. Da
∞
∑ ak absolut konvergiert, gibt es zu vorgegebenem ε > 0 ein natürliches k0 = k0 �ε )
k=1
mit der Eigenschaft
|ak0 +1 | + |ak0 +2 | + . . . + |ak0 +� | < ε
�∗)
für beliebiges � ∈ �. Zu einer gegebenen Umordnung ϕ : � → � wählen wir nun einen
weiteren Index k1 ∈ � derart groß, dass unter den k1 Zahlen ϕ �1)� ϕ �2)� . . . � ϕ �k1 ) auch
alle Zahlen 1� 2� . . . � k0 vorkommen. Weiter bezeichnen wir mit sn und tn die n-ten Partialsummen
sn :=
n
∑ ak �
k=1
tn :=
n
∑ aϕ �k) .
k=1
3. Ist nun der obere Index gemäß n > k1 gewählt, so enthält die Differenz sn − tn nur Summanden ak mit k > k0 � da alle Glieder mit einem Index aus �1� . . . � k0 } ja sowohl in sn
wie in tn vorkommen und sich bei der Subtraktion gegenseitig wegheben. Mit anderen
Worten: |sn − tn | kann durch obige Summe �∗) abgeschätzt werden:
|sn − tn | < ε
für n > k1 .
Also ist �sn − tn }n∈� eine Nullfolge, und es folgt
lim sn = lim tn
n→∞
n→∞
bzw.
∞
∞
k=1
k=1
∑ ak = ∑ aϕ �k) .
Die Werte der ursprünglichen Reihe und der Umordnung stimmen also überein.
4. Die Begründung, dass die umgeordnete Reihe ebenfalls absolut konvergiert, d.h. dass gilt
∞
∑ |aϕ �k)| < ∞� überlassen wir schließlich als Übung.
k=1
Absolut konvergente Reihen verlieren diese Eigenschaft der absoluten Konvergenz
nach Umordnen also nicht.
1.8. INTEGRALVERGLEICHSKRITERIUM
11
Wir wollen in diesem Zusammenhang noch zwei weitere Begriffe vorstellen:
◦ Konvergente unendliche Reihen, die nach beliebiger Umordnung konvergent bleiben und ihren Wert nicht ändern, nennt man auch unbedingt konvergent.
◦ Alle anderen konvergenten Reihen, deren Konvergenzverhalten nach Umordnen
verändert wird, heißen bedingt konvergent.
Hieran schließt sich sofort der folgende berühmte Riemannsche Umordnungssatz an.
Satz 1.9. Ist
∞
∑ ak eine konvergente, aber nicht absolut konvergente unendliche Reihe,
k=1
und ist eine reelle Zahl z ∈ R ∪ �±∞} beliebig vorgegeben, so gibt es eine Umordnung
∞
∑ aϕ �k) dieser Reihe mit der Eigenschaft
k=1
z=
∞
∑ aϕ �k) .
k=1
Aufgabe 7. Studieren Sie in der Literatur einen Beweis dieses Satzes, und veranschaulichen Sie sich dessen Aussage anhand eines selbst gewählten Beispiels.
1.8
Integralvergleichskriterium
Schließlich wollen wir ein Kriterium vorstellen, welches Konvergenz oder Divergenz
einer unendlichen Reihe auf Konvergenz bzw. Divergenz eines uneigentlichen Integrals
zurückführt.
Satz 1.10. Die Funktion f sei für x ≥ p� wobei p ∈ Z ganzzahlig ist, nichtnegativ und
monoton fallend. Dann gilt
∞
∑
k=p+1
f �k) ≤
�∞
p
f �x) dx ≤
∞
∑ f �k).
k=p
Beweis. Aus der Monotonie von f schließen wir
f �k + 1) ≤
k+1
�
k
f �x) dx ≤ f �k)
für alle k ≥ p.
Addition über k = p� . . . � q − 1 ergibt daher
q
∑
k=p+1
f �k) ≤
�q
p
q−1
f �x) dx ≤
∑ f �k).
k=p
Der Grenzübergang q → ∞� wobei q ganzzahlig gewählt werden kann auf Grund der
Monotonie von f � zeigt die Behauptung.
KAPITEL 1. UNENDLICHE REIHEN
12
Beispiel 11. Die Reihe
zunächst ist ak =
1
k2
∞
1
∑ k2 konvergiert nach dem Integralvergleichskriterium, denn
k=1
mit wachsendem k monoton fallend, und zweitens gilt
�∞
1
Wir entnehmen also
∞
1
1 ��x=∞
1
= 1.
dx
=
−
�
x2
x x=1
∞
1
∑ k2 < ∞ und damit ∑ k2 < ∞.
k=2
k=1