6. ¨Ubungsblatt zur Vorlesung Analysis I

Universität Karlsruhe
Institut für Analysis
Prof. Dr. Wolfgang Reichel
Dipl.-Math. Dagmar Roth
WS 2008/2009
6. Übungsblatt zur Vorlesung Analysis I
T Aufgabe 1
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz.
a)
∞
X
n=1
c)
(−1)n
4n2 − n + 1
∞ X
n=1
1
1−
n
b)
n
n2
∞ X
1
d)
1−
n
n=1
n
f)
−1
∞ X
5n
4n
n=1
∞
X
3n n!
n=1
(−1)n
+
2
n
n=1
∞
X
nn−2
e)
n2 + nn
n=1
g)
∞ X
1
h)
5n
∞
X
n=1
√
3 n − 1
+ α
(−1) √
n+1
n
(α ∈ R).
T Aufgabe 2
Ein Ball fällt aus der Höhe H auf einen ebenen Untergrund. Bei jedem Sprung erreicht der
Ball das r-fache der zuletzt erreichten Höhe (0 < r < 1). Zeigen Sie, das der Ball insgesamt
1+r
den Weg 1−r
H zurücklegt.
T Aufgabe 3
∞
X
π2
1
=
berechne man
Aus der Kenntnis von
2
n
6
n=1
∞
X
n=0
1
(2n + 1)2
∞
X
(−1)n−1
und
n=1
n2
.
T Aufgabe 4
Es seien reelle Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N gegeben, so dass die Reihen
konvergieren. Zeigen Sie, dass dann die Reihe
∞
P
∞
P
(an )2 und
n=1
∞
P
(bn )2
n=1
(an bn ) absolut konvergent ist.
n=1
Bitte wenden!
K Aufgabe 1 (6 Punkte)
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz.
n2
∞
X
1
(−1)n
b)
1+
3n
n
n=1
∞
X
n 2n
a)
(−1)
n
n=1
c)
e)
∞
X
(2n)!
(3n)n n!
n=1
∞
X
nα αn
d)
∞
X
(−1)n n2 + n
n=1
n3 + 1
(α ∈ R, α ≥ 0).
n=1
K Aufgabe 2 (6 Punkte)
a) Ein Herr spaziert eine Distanz d mit Geschwindigkeit v nach Hause. Sein Hund freut sich
und rennt mit Geschwindigkeit 3v/2 immer zwischen Herr und Haus hin und her.
(i) Bei welchen Distanzen (dn )n∈N zum Haus begegnen sich Herr und Hund?
(ii) Bestimmen Sie mit Hilfe von (dn )n∈N die Gesamtweglänge des Hundes.
(iii) An einem anderen Tag herrscht beim Rückweg Haus → Herr Gegenwind, wodurch
sich die Geschwindigkeit des Hundes in dieser Richtung auf 4v/3 reduziert. Welche
Weglänge rennt der Hund nun?
b) Sei (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen. Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:
(i)
(ii)
∞
X
n=1
∞
X
n=1
an konvergent ⇒
∞
X
(an )2 konvergent
n=1
an absolut konvergent ⇒
∞
X
(an )2 konvergent.
n=1
Abgabe bis Freitag, den 5.12.08, 12 Uhr.