Mathematik für Informatiker

Mathematik für Informatiker
11. Übung – Zahlenreihen
1. Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz
∞ q
∞
P
P
n 1
n+2
(a)
HA:
(b)
10
2n3 −1
(d)
(g)
(j)
n=1
∞
P
(arctan n)n
2n
HA: (e)
ln n
n3
HA: (h)
n=1
∞
P
n10
10n
n=1
∞
P
n=1
HA: (k)
n=1
∞
P
n=1
∞
P
(c)
1
2n−1
(f)
(−1)n (e − (1 + n1 )n )
(i)
n=1
∞ √
P
√
n+1− n
n
(l)
n=1
2. Geben Sie die Summe s =
∞
P
∞
P
n=1
∞
P
n=2
∞
P
6n
n!
√
n!
nn
n=1 ∞
P
n=2
1
n(n−1)
1
n2
−
1
(n−1)2
an folgender Reihen an:
n=1
1
(−d ∈
/ N),
(d + n)(d + n + 1)
1
1
,
(c) an = , HA: (d) an =
n!
n(n + 1)
(a) an =
HA:
3. Schreiben Sie die folgenden Reihen in der Form
∞
P
HA:
HA:
1
(b) an = √ ,
n
1
(e) an = 2
.
4n − 1
an und untersuchen Sie, ob die
n=1
Reihen konvergieren oder sogar absolut konvergieren:
2 3 4 5
HA:
HA: (a) + + + + . . . ,
3 4 5 6
HA:
(b)
2 4
6
8
+ +
+
+ ...,
3 9 27 81
(c) 1 +
1·2 1·2·3
+
+ ...,
1·3 1·3·5
HA:
(d) 1 +
1
1
1
+
+
+ ...,
100 200 300
(e) 1 +
2
4
8
+ + + ...,
2! 3! 4!
HA:
1
1
1
(f) 1 − √ + √ − √ ± . . . ,
2
3
4
(g) 1 −
1
1
1
1
1
+ − 2 + − 2 ± ... .
2
2
3 4
5 6
4. HA: Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
2007 ∞
∞
∞ √ √
P
P k!
P
P
√
π
1 n
n
(a)
(b)
+
(c)
n( n + 1 − n).
4 − 6n ,
5n ,
5k
n=1
n=1
k=1
n=1
5. Für welche x ∈ R \ N ist die Reihe
∞
X
xn
(x − 1)(x − 2) · · · · · (x − n)
n=1
konvergent?
6. Zwei Lokomotiven fahren mit je einer Geschwindigkeit v aufeinander zu. Eine Taube
fliegt mit der Geschwindigkeit w > v von Lok zu Lok hin und her. Der Abstand der
Lokomotiven zum Startzeitpunkt t0 sei x0 , zu den Zeitpunkten tn , n = 1, 2, 3, . . .
kehre die Taube das n-te Mal um (dabei hat die Taube stets eine der Lokomotiven
erreicht und benötigt zum Umkehren keine Zeit und besitzt zudem direkt die gleiche
Geschwindigkeit w in entgegengesetzte Richtung), die Lokomotiven haben dann den
Abstand xn . Setze sn = tn+1 − tn . Bestimmen Sie:
1
(a) xn als Funktion von v, w und x0 ,
(b) sn als Funktion von v, w und s0 ,
∞
P
(c) die Gesamtflugdauer T =
sn als Funktion von x0 und v.
n=0
7. HA: Der Turm von Babylon werde durch Aufeinanderstapeln von Würfeln Wn der
Kantenlänge n1 nachgebaut, wobei n = 1, 2, 3, . . . ist. Die Bodenfläche des (n + 1)-ten
Würfels werde dabei auf die Mitte der Dachfläche des n-ten Würfels gesetzt.
(a) Wie hoch wird der Turm?
(b) Kann der Turm mit endlich viel Farbe angestrichen werden?
(c) Kommen die Baumeister mit endlich viel Beton aus, wenn jeder Würfel ganz aus
Beton besteht?
8. (a) Verwenden Sie den binomischen Satz um zu zeigen, dass für n ∈ N gilt
√
2
n
n ≤1+ √ .
n
√
(b) Zeigen Sie, dass lim n n = 1 ist! Folgern Sie daraus, dass für a > 0 auch
n→∞
√
n
lim a = 1
n→∞
ist!
(c) Untersuchen Sie die Zahlenfolge (xn )n∈N mit xn =
∞
P
(−1)n
√
(d) Konvergiert die Reihe
n n−1 ?
(e) Konvergiert die Reihe
n=1
∞
P
(−1)n (1 −
√
n
√
n
n auf Monotonie!
n) ?
n=1
(f) Konvergiert die Reihe aus (e) absolut?
9. Wir definieren mit Hilfe der harmonischen Reihe
P
1
n
folgende Reihen:
n∈N
(a) HA: Wir summieren nur über gerade Zahlen aus N.
(b) HA: Wir summieren nur über durch 10 teilbare natürliche Zahlen.
(c) Wir summieren nur über natürliche Zahlen n bei denen in der Dezimaldarstellung
die Ziffer 9 nicht vorkommt.
Welche der so definierten Reihen ist konvergent?
10. Untersuchen Sie, ob die Zahlenfolgen (xn )n∈N Cauchyfolgen sind:
(a) xn = n1 ,
(b) xn =
n
P
1
.
k2
k=1
11. Zeigen Sie, dass
∞
P
n=1
1
2
+
1 n
n
< e2 ist.
12. HA: Für n > 1 gilt offenbar
1
1
1
< 2 <
.
n(n + 1)
n
n(n − 1)
Man leite daraus eine obere und untere Schranke für die folgende Reihe her:
∞
X
1
.
n2
n=1
2