Analysis - Universität Koblenz · Landau

UNIVERSITÄT KOBLENZ-LANDAU, CAMPUS LANDAU
INSTITUT FÜR MATHEMATIK
Prof. Dr. Gunter Dufner
Dr. Dominik Faas
Analysis
Sommersemester 2016
Blatt 10
Abgabetermin: 27.06.2016
Aufgabe 38
((1+1+2+1+1)+(1+1)=8 Punkte)
(a) Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Reihenwert:
∞ √
√
(i) ∑ ( k + 3 − k)
k=1
∞
(ii) ∑
k=1
∞
(iii) ∑
k=2
∞
(iv) ∑
k=3
∞
(v) ∑
k=1
1
k2 −3k
k+10
k2 +2k
5k−1
32k
4k −3k −2k −1
5k
Hinweis:
ˆ zu (i): Spalten Sie die (Partial-)Summe in zwei Teile auf. Führen sie dann eine Indexverschiebung durch, so dass sich große Teile der Summen aufheben.
ˆ zu (ii): Bestimmen Sie zunächst Zahlen a, b ∈ R mit
dann wie in (i) vor.
1
k2 −3k
=
a
k
+
b
k−3
(∀k ∈ N). Gehen Sie
ˆ zu (iii): Gehen Sie analog zu (ii) vor. Hier heben sich aber nur Teile der beiden auftretenden Summen auf. Der verbleibende Term mit Summe entspricht aber einer bekannten
Reihe aus der Vorlesung.
ˆ zu (iv) und (v): Nutzen Sie die geometrische Summenformel bzw. Kenntnis über die
Konvergenz geometrischer Reihen.
(b)
(i) Schreiben Sie 0.9 als Reihe. Zeigen Sie die Konvergenz der Reihe und bestimmen
Sie den Reihenwert.
Hinweis: Überlegen Sie sich zunächst, wie Sie die abbrechenden Dezimalzahlen 0.9, 0.99, 0.999
usw. mit dem Summenzeichen schreiben können.
(ii) Schreiben Sie analog 0.352 als Reihe. Zeigen Sie die Konvergenz der Reihe und
bestimmen Sie den Reihenwert (als Bruch dargestellt).
Aufgabe 39
(2+2=4 Punkte)
n gleiche quaderförmige Klötze der Länge ` (man kann ` = 1 annehmen) werden so gestapelt, dass der oberste Klotz möglichst weit über den Untersten ragt. Sei sn der Abstand
der beiden senkrechten Geraden, von denen eine durch den überhängenden Rand (im Bild
links) und die andere durch den Schwerpunkt des gesamten Turms geht.
(a) Stellen Sie sich für einen bestehenden Turm aus n Klötzen vor, dass unten ein weiterer
Klotz hinzugefügt wird.(Dieser Klotz soll möglichst weit rechts liegen.) Stellen Sie nun
eine Formel auf, die den Zusammenhang zwischen sn+1 und sn beschreibt.
(b) Schreiben Sie sn als Partialsumme einer geeigneten Reihe und entscheiden Sie dann,
ob lim sn existiert. (Beachten sie dazu das Ergebnis zur “harmonischen Reihe“ aus
n→∞
der Vorlesung.) Was bedeutet dies (zumindest theoretisch) für den “ Überhang“ eines
solchen Turms?
Aufgabe 40
(0.5+0.5+1+1=4 Punkte)
Gegeben seien Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N in R.
In der Vorlesung wurden die folgenden Implikationen gezeigt:
(
∞
∞
∞
∑ an konvergent ∧
∑ bn konvergent ) ⇒
∑ (an + bn ) konvergent
n=0
∞
(
n=0
∞
∑ an konvergent ∧
n=0
n=0
∞
∑ bn konvergent ) ⇒
n=0
∑ (an − bn ) konvergent
n=0
Welche der folgenden Implikationen gelten (Beweis oder Gegenbeispiel):
(i)
(
∞
∞
∞
∑ an divergent ∧
∑ bn divergent ) ⇒
∑ (an + bn ) divergent
n=0
∞
(ii)
(ii)
(
(
(iv) (
n=0
∞
∑ an divergent ∧
n=0
∞
∑ an
n=0
∞
∑ an
n=0
∑ bn divergent ) ⇒
n=0
∞
konvergent ∧
∑ bn divergent ) ⇒
n=0
∞
konvergent ∧
∑ bn divergent ) ⇒
n=0
n=0
∞
∑ (an − bn ) divergent
n=0
∞
∑ (an + bn ) divergent
n=0
∞
∑ (an − bn ) divergent
n=0
Aufgabe 41
(3 Punkte)
Gegeben seien Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N in R.
Es sei vorausgesetzt:
(V1) (an )n∈N ist nach unten beschränkt.
(V2) Es gilt an ≤ an−1 + bn für alle n ∈ N.
∞
(V3) Die Reihe ∑ bk ist konvergent.
k=0
Zeigen Sie, dass (an )n∈N konvergent mit Grenzwert in R ist.
Hinweis: Betrachten Sie die Folge (ãn )n∈N mit
ãn ∶= an − sn
(für n ∈ N),
∞
wobei (sn )n∈N die Folge der Partialsummen zur Reihe ∑ bk ist. Zeigen Sie, dass (ãn )n∈N monoton
k=0
fallend und nach unten beschränkt ist und folgern Sie daraus die Konvergenz von (ãn )n∈N und
(an )n∈N .
Diese Übungsblätter finden Sie unter:
https://www.uni-koblenz-landau.de/de/landau/fb7/mathematik/team/gunter-dufner/material/ana-sose16