2. ¨Ubung

2. Übung
9. Überlegen Sie anhand der mathematisch präzisen Definition des Grenzwerts von Folgen aus dem Skriptum,
welche der folgenden Folgen (an ) Nullfolgen sind. Berechnen Sie zu den Nullfolgen den Index n() aus dem
1
1
Skript für = 100
und = 10000
.
(a) an =
(b) an =
1
n+11
1
111 sin(n)
111
n sin(n)
(c) an =
(Hinweis: Wählen Sie hier zwei Nullfolgen bn und cn , mit bn ≤ an ≤ cn (vgl. Skript
1.2.2., Satz (Grundeigenschaften konvergenter Folgen), (viii)), um zu schließen, dass an eine Nullfolge
ist, bzw. um die gefragten Indices n() zu berechnen.)
10. Berechnen Sie, so existent, die Grenzwerte folgender Folgen
an =
n3 + 2n + (−1)n
,
n4 + n3 − 3
bn =
n2 + 2n + 27
,
n2 + n − 3
n
cn =
n(−1)
,
n
dn = an · bn ,
en = an · cn ,
fn = bn · cn .
11. Berechnen Sie, unter Verwendung von limn→∞ (1 + nx )n = ex , die Grenzwerte folgender Folgen, so sie existieren:
1
1
n + 1 (n2 )
(1 + )1/n ,
(1 − )2n+1 ,
(
)
.
n
n
n
((−1)n −k)
. Für welche natürlichen Zahlen k konvergiert die Folge an , für welche natürlichen
12. (a) Es sei an = n n4
Zahlen k divergiert sie und für welche natürlichen Zahlen k divergiert sie bestimmt?
(b) Sei an eine Nullfolge. Begründen Sie, dass jede Folge bn , welche für alle (hinreichend großen) n der
Ungleichung |bn − 17| ≤ an genügt, limn→∞ bn = 17 erfüllt.
13. Sie (an ) eine reelle Folge. Begründen Sie anhand der Definition der Folgenkonvergenz, dass für q reell aus
√
n a = q folgt.
limn→∞ an+1
n
an = q auch limn→∞
Gilt selbige Aussage, wenn q = ∞ (was bedeutet eigentlich limn→∞ an+1
an = ∞?) ?
14. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Begründen Sie Ihre Antwort. Geben Sie ein Gegenbeispiel, wenn
die Aussage falsch ist.
(a) Aus (an ) konvergiert folgt |an | konvergiert.
(b) Für jede reelle Zahl x gibt es bestimmt divergente Folgen (an ) und (bn ), sodass limn→∞
(c) Ist an eine bestimmt divergente Folge, so konvergiert
bn
an
an
bn
= x.
für jede Folge (bn ).
(d) Es gibt immer höchstens einen Grenzwert.
(e) Ist (an ) eine bestimmt divergente Folge, so ist auch jede Teilfolge von (an ) bestimmt divergent.
15. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Begründen Sie Ihre Antwort. Geben Sie ein Gegenbeispiel, wenn
die Aussage falsch ist.
(a) In jedem (noch so kleinen) Intervall [−a, a] gibt es eine divergente Folge.
(b) Sind (an ) und (bn ) konvergent, so konvergiert max(an , bn ) (Für reelle Zahlen x und y steht max(x, y)
für das Maximum von x und y).
(c) Hat (an ) keine obere Schranke, so divergiert (an ).
(d) Hat (an ) keine obere Schranke, so divergiert (an ) bestimmt gegen ∞.
(e) Ist (an ) eine Nullfolge, so konvergiert (−1)n an .
16. Geben Sie je ein Beispiel für folgende Situationen an:
(a) Die Folgen (an ) und (bn ) sind divergent, die Produktfolge (an bn ) is konvergent.
(b) (an ) bestimmt divergent, (bn ) konvergent, (an bn ) konvergent.
(c) (an ) bestimmt divergent, (bn ) konvergent, (an bn ) bestimmt divergent.
(d) (an ) bestimmt divergent, (bn ) konvergent, (an bn ) divergent, aber nicht bestimmt divergent.
(e) (an ) und (bn ) konvergent, ( abnn ) bestimmt divergent.
(f) (an ) und (bn ) konvergent, ( abnn ) divergent, aber nicht bestimmt divergent.