Blatt 20 $ Präsenzübungen
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Prof. A. Grigorian, Funktionen
SS2017
Blatt 20 - Präsenzübungen
99. Seien fxn g und fyn g zwei Folgen von reellen Zahlen.
(a) Beweisen Sie: gilt xn ! a 2 R n f0g und yn ! +1, dann gilt auch
+1; falls a > 0;
1; falls a < 0:
xn yn ! a (+1) =
(b) Geben Sie die Beispiele von den Folgen xn ! 0 und yn ! +1 an, derart, dass
(i) xn yn ! c wobei c 2 R vorgegeben ist;
(ii) die Folge fxn yn g keinen Grenzwert hat.
Solution. (a) Sei a > 0. Wählen wir eine beliebige Zahl c 2 (0; a). Die Bedingung
xn ! a ergibt: es gilt xn > c für fast alle n. Die Bedingung yn ! +1 ergibt: für
jedes E > 0 gilt yn > E für fast alle n. Dann gilt xn yn > cE für fast alle n. Da cE
beliebige positive Werte annimmt, so erhalten wir xn yn ! +1: Der Fall a < 0 ist
analog.
(b) (i) xn = n1 und yn = cn, falls c 2 R n f0g. Für den Fall c = 0 setzen wir xn = n12
und yn = n. Für der Fall c = +1: xn = n1 und yn = n2 . Für den Fall c = 1:
xn = n1 und yn = n2 .
(ii) xn =
( 1)n
n
und yn = n.
100. (a) Beweisen Sie, dass die folgende Reihe konvergiert:
1
X
k=1
1
k (k + 1)
und bestimmen Sie ihre Summe.
Hinweis. Benutzen Sie Aufgabe 28.
(b) Beweisen Sie, dass die folgende Reihe konvergiert:
1
X
1
:
k2
k=1
(c) Bestimmen Sie, ob die folgende Reihe konvergent oder divergent ist:
1
X
k3
k=1
k!
:
Solution. (a) Nach Aufgabe 28 gilt
Sn :=
n
X
k=1
1
n
=
=1
k (k + 1)
n+1
Für n ! 1 erhalten wir lim Sn = 1 und somit
80
P1
1
:
n+1
1
k=1 k(k+1)
= 1:
(b) Es gilt
2
1
=
2
k
k (2k)
da 2k
2
k (k + 1)
k + 1, woraus folgt
1
X
1
k2
1
X
k=1
(c) Für k
k=1
2
= 2 < 1:
k (k + 1)
5 gilt
k!
k (k
1) (k
2) (k
3) (k
4)
k (k
k3
1) (k
2) (k
1
3) (k
4)
4
3) (k
4)
woraus folgt
k3
k!
Da
k
k 1
2 und
k
k 2
2, so erhalten wir
k3
k!
Da die Reihe
:
1
X
k=5
(k
1
3) (k
(k
konvergent ist, so folgt es, dass auch
=
4)
P1
1
X
l=1
k3
k=1 k!
1
l (l + 1)
konvergiert.
101. (a) (Die harmonische Reihe) Beweisen Sie, dass die folgende Reihe divergiert:
1
X
1 1
1
= 1 + + + :::
k
2 3
k=1
Hinweis. Beweisen Sie zunächst die folgende Ungleichung für die Partialsummen Sn :
S2n
Sn
1
:
2
(b) Beweise Sie, dass die folgende Reihe bestimmt divergiert:
1
X
k 2 + 2k
k=1
k3 + 1
:
Solution. (a) Die Partialsumme ist
Sn = 1 +
Konvergiert die Reihe
so dass
P1
1
k=1 k ,
1
1
+ ::: + :
2
n
(49)
so konvergieren Sn und S2n gegen gleichen Grenzwert
S2n
Sn ! 0:
In der Tat gilt
S2n
Sn =
1
1
1
+
+ ::: +
2n}
|n + 1 n +{z2
n Glieder
81
n
1
1
= ;
2n
2
so dass die Bedingung S2n
folgt
Sn ! 0 nicht gilt. Deshalb ist fSn g divergent, woraus
1
X
1
= 1:
k
k=1
Bemerkung. Beachten Sie, dass die Folge von Partialsummen (49) steigt mit n
sehr langsam, zum Beispiel
S1000 = 7; 485 470:::
S10000 = 9; 787 606:::
S100000 = 12; 090 146 :::
(b) Es gilt
k 2 + 2k
1 1 + 2=k
k 2 1 + 2=k
=
:
=
k3 + 1
k 3 1 + 1=k 3
k 1 + 1=k 3
Es gilt
1 + 2=k
1 + 1=k 3
und somit
1
1
=
1+1
2
k 2 + 2k
k3 + 1
1
k:
2
Nach (a) erhalten wir, dass
1
X
k 2 + 2k
k=1
und somit ist die Reihe
P k2
1
1X1
= +1;
2
k
k3 + 1
2k
k3 +1
k=1
bestimmt divergent.
1 1
; 15 im Dualsystem.
102. Bestimmen Sie die Darstellung der Zahlen 51 ; 10
Solution. Wir benutzen, dass
1
1
=
:
15
16 1
Für jedes r > 1 gilt
1
X
r
k
2
4k
=
k=1
1
r
1
Nach (50) mit r = 16 erhalten wir
1
X
1
=
16
15
k=1
Da
1
3
=
3
15 ,
k
=
1
X
= (0; 000100010001:::)2 :
k=1
so gilt
1
= 3 (0; 000100010001:::)2 :
5
Wir haben
2 (0; 000100010001:::)2 = (0; 00100010001:::)2
woraus folgt
3 (0; 000100010001:::)2 = (0; 00100010001:::)2 + (0; 000100010001:::)2
= (0; 0011001100110011:::)2
82
(50)
und somit
Für
1
10
1
= (0; 0011001100110011:::)2 :
5
haben wir
1
1 1
=
= (0; 00011001100110011:::)2 :
10
2 5
83
