Blatt 20 - Präsenzübungen
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Prof. A. Grigorian, Funktionen
SS 2017
Blatt 20 - Präsenzübungen
99. Seien { } und { } zwei Folgen von reellen Zahlen.
() Beweisen Sie: gilt → ∈ R \ {0} und → +∞, dann gilt auch
½
+∞ falls 0
→ · (+∞) =
−∞ falls 0
() Geben Sie die Beispiele von den Folgen → 0 und → +∞ an, derart, dass
() → wobei ∈ R vorgegeben ist;
() die Folge { } keinen Grenzwert hat.
100. () Beweisen Sie, dass die folgende Reihe konvergiert:
∞
X
=1
1
( + 1)
und bestimmen Sie ihre Summe.
Hinweis. Benutzen Sie Aufgabe 28.
() Beweisen Sie, dass die folgende Reihe konvergiert:
∞
X
1
2
=1
() Bestimmen Sie, ob die folgende Reihe konvergent oder divergent ist:
∞
X
3
=1
!
101. () (Die harmonische Reihe) Beweisen Sie, dass die folgende Reihe divergiert:
∞
X
1
=1
=1+
1 1
+ +
2 3
Hinweis. Beweisen Sie zunächst die folgende Ungleichung für die Partialsummen :
1
2 − ≥
2
() Beweise Sie, dass die folgende Reihe bestimmt divergiert:
∞
X
2 + 2
=1
3 + 1
1 1
15 im Dualsystem.
102. Bestimmen Sie die Darstellung der Zahlen 15 10
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Blatt 21 - Abgabe bis 07.07.17
Zusätzliche Aufgaben sind mit * markiert
103. Sei eine positive Zahl. Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge
³ ´
=
Hinweis. Beweisen Sie, dass für genügend große
+1
1
≤
2
and erhalten daraus, dass ≤ 2− für eine Konstante (siehe auch die Lösung der Aufgabe
83()).
104. Für jede Reihe bestimmen Sie, ob sie konvergent oder divergent ist.
X∞
2
()
3
=1 + 1
X∞ − 2
()
=1 2
X∞
()
=1 2
Hinweis. Für () und () benutzen Sie die Aufgaben 100 und 101, für () — die Aufgaben 48 und
83().
105. Bestimmen Sie die Darstellung im Dualsystem der Zahlen 12 14 18 38 58
106. Bestimmen Sie die Darstellung im Dualsystem der Zahlen 13 16 15 17
107.
Sei eine positive reelle Zahl. Definieren wir die Folge { }∞
=1 per Induktion nach wie folgt:
2
1 wird beliebig gewählt so dass 1 0 und 1 ≥ , und
µ
¶
1
+
für alle ∈ N
(16)
+1 =
2
∗
Beweisen Sie folgendes.
() 0 und 2 ≥ für alle ∈ N
() +1 ≤ für alle ∈ N
√
() lim→∞ =
Bemerkung. Somit erhalten Sie einen alternativen Beweis der Existenz von Quadratwurzel.
108.
∗
() Beweisen Sie, dass für alle ∈ N und 0 1 gilt
(1 + ) ≤
Hinweis. Benutzen Sie die Identität 1 + =
() Beweisen Sie, dass
1−2
1−
1
1 −
und die Bernoullische Ungleichung.
µ
¶
1
lim 1 + 2
= 1
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