Blatt 7

Prof. Guido Sweers
Matthias Erven
WS 2009/10
Analysis I
Übungsblatt 7
Diese Hausaufgaben werden am Donnerstag, den 03.12.2009 um 13:00 Uhr eingesammelt. Bitte schreiben Sie auf Ihre Lösung Ihren Namen und Ihre Gruppennummer und werfen Sie sie in einen der drei
Briefkästen im Keller des Mathematischen Instituts.
Aufgabe 1.
(10 Punkte) Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
∞
∞ ∞
n2
1 + 4i 2n
n
;
b. ∑ 2
;
c. ∑
;
a. ∑ 3
n=0 n + 2
n=0 4 − 3i
n=0 2n + 1
n2 − 2i
∞
d.
∑ 1 + n3 i ;
n=0
r
∞
g.
∑
n=0
n
;
1 + n4
∞
e.
∞ n3
2 + n!
f.
∑ (2 + n)! ;
∑
n=0
3n
n=0
n
3
h. ∑ n
;
4
n=0
∞
√
n
n
2 + (−1)
;
(1 000 000 000)n
;
∑
n!
n=0
∞
2
i.
∞
j.
(3n + 1)!
.
3
n=0 (n!)
∑
∞
Aufgabe 2. (6 Punkte) Seien {an }∞
n=0 und {bn }n=0 Folgen komplexer Zahlen. Entscheiden Sie jeweils,
ob die folgenden Behauptungen wahr oder falsch sind. Beweisen Sie Ihre Aussagen.
∞
1. Wenn lim an = 0 gilt, so konvergiert ∑ (ak )k .
n→∞
∞
k=0
∞
∞
2. Wenn ∑ a2n und ∑ a2n+1 beide divergent sind, ist auch ∑ an divergent.
n=0
n=0
n=0
∞
∞
3. Wenn ∑ an bedingt konvergent ist, dann ist auch ∑ a2n bedingt konvergent.
n=0
n=0
4. Wenn für jedes ε > 0 ein Nε existiert, so dass |an+1 − an | < ε gilt für alle n > Nε , dann konvergiert
die Folge {an }∞
n=0 .
∞
∞
∞
n=0
n=0
n=0
5. Wenn ∑ a2n und ∑ b2n absolut konvergieren, so konvergiert auch ∑ an bn . Hinweis: (x ± y)2 .
∞
∞
n=0
n=1
6. Wenn ∑ a2n absolut konvergiert, dann konvergiert auch ∑ n1 an .
Aufgabe 3.
(4 Punkte) Wir definieren die Folge {an }∞
n=0 durch
!
n
an := Arg
∏ (k + i)
.
k=0
Sei a ∈ [0, 2π]. Argumentieren Sie, warum es eine Teilfolge {ank }∞
k=0 gibt mit
lim ank = a.
k→∞