œ n $ 0

UniBw M / EIT / Inst. 1 (Prof. Dr. K. Pilzweger)
30.10.08
Mathematik I: Übungsblatt 5
Abgabe: bis Di., 04.11.08, 13.00 Uhr
Besprechung: Do., 06.11.08
Aufgabe 1:
In jeder Teilaufgabe ist ( a n ) n $ 1 eine konvergente oder bestimmt divergente Folge. Berechnen
Sie den Grenzwert
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Aufgabe 2:
Ist die jeweilige Folge konvergent, bestimmt divergent oder unbestimmt divergent? Sofern er
existiert, berechnen Sie ihren Grenzwert.
a) a n '
b) b n '
c) c n '
.
Aufgabe 3:
Sei " > 0 und sei a n '
für alle n $ 1. Unter welcher Bedingung an den
Exponenten " ist die Folge ( a n ) konvergent ? Welchen Grenzwert hat dann ( a n ) ? Welcher
Typ von Divergenz liegt vor, wenn " diese Bedingung nicht erfüllt ?
Aufgabe 4:
Bei vorgegebenen Zahlen b 0 ú und q 0 ù mit b > 0 und q > 1 sei (x n) n $ 0 die durch
xn+1 =
œn$0
(*)
rekursiv definierte Folge. Über den Startwert x 0 wird nur x 0 > 0 vorausgesetzt.
a) Zeigen Sie, dass aus den Voraussetzungen über b, q und x 0 folgt, dass x n > 0 für alle n$ 0.
b) Man kann beweisen (was von Ihnen aber nicht verlangt wird), dass (xn) konvergiert.
Berechnen Sie den Grenzwert x =
, indem Sie in der Rekursionsformel (*) n 6 4
gehen lassen und damit eine Gleichung für x herleiten. (Ergebnis : x =
).
c) Berechnen Sie für den Fall, dass b = 21, q = 3 und x 0 = 3, die Folgenglieder x 1 , x 2 und
x 3 und vergleichen Sie die Zahlenwerte dieser Glieder mit dem exakten Wert von
=
.
Hinweise
A 1: a, b, c) Vgl. Beispiele auf Seite 7 und 8 von Kap. I.
d, e) Ausdruck umformen. Dazu
verwenden .
f) Bruch mit der größten Potenz kürzen; Konvergenzverhalten der geometrischen Folge
(s. Kap. I, (1.3.9)).
g) Unter der Wurzel
h) Im Zähler
ausklammern.
, im Nenner n ausklammern; ferner:
.
A 2: a - c) Im Zähler und Nenner das für n 6 4 am stärksten anwachsende Glied ausklammern.
c) Konvergenzverhalten der geometrischen Folge (s. Kap. I, (1.3.9)).
A 3: Verwenden Sie dieselbe Umformung wie in Aufgabe 1, d).