7. Aufgabenblatt - Institut für Mathematik

Institut für Mathematik, Universität Zürich
Prof. E. Bolthausen
7. Aufgabenblatt zur
Wahrscheinlichkeitstheorie
Abgabe bis Mittwoch, 16. Mai 2007, 13.00
Aufgabe 1 Sei {Xn }n∈N eine Folge unabhängiger, 1[0,1] (x)λ(dx)-verteilter Zufallsgrössen auf
einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P ) (λ(dx): Lebesgue-Mass auf ), und sei
R
Yn := min Xi .
1≤i≤n
Zeigen Sie, dass die Folge {nYn }n∈N für n → ∞ in Verteilung gegen die Exponentialverteilung
e−x 1[0,∞) (x)λ(dx) konvergiert.
Aufgabe 2 Sei {Xn }n∈N eine Folge unabhängiger, e−x 1[0,∞) (x)λ(dx)-verteilter Zufallsgrössen
auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P ), und sei
Mn := max Xi .
1≤i≤n
Zeigen Sie, dass die Folge {Mn − log n}n∈N für n → ∞ in Verteilung gegen die Gumbel−x
Verteilung e−x e−e λ(dx) konvergiert.
Aufgabe 3 Sei {Xn }n∈N eine Folge von Zufallsgrössen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, F, P ), die schwach gegen die konstante Zufallsgrösse X konvergiert. Zeigen Sie, dass die
Folge {Xn }n∈N auch in Wahrscheinlichkeit gegen X konvergiert.
Aufgabe 4 Seien {Xn }n∈N eine Folge von Zufallsgrössen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, F, P ), Fn := σ(Xn ) = Xn−1 (B) für alle n ∈ und
!
!
∞
∞
\ _
\
[
T∞ =
Fn =
σ
Fn
N
k∈
N
n=k
k∈
N
n=k
P
die σ-Algebra der terminalen Ereignisse der Folge {Fn }n∈N , und sei Sn := ni=1 Xi . Sei zudem
{cn }n∈N eine Folge reeller Zahlen ist mit cn → ∞ für n → ∞, und x ∈ . Untersuchen Sie,
ob die folgenden Mengen Elemente von T∞ sind:
R
(a) {ω ∈ Ω| limn→∞ Sn (ω) existiert },
(b) {ω ∈ Ω| lim supn→∞ Sn (ω) > 0},
(c) {ω ∈ Ω| lim supn→∞ (Sn (ω)/cn ) > x}.