7. Aufgabenblatt zur Einführung in die Stochastik

Institut für Mathematik, Universität Zürich
Prof. E. Bolthausen
7. Aufgabenblatt zur Einführung in die
Stochastik
Abgabe bis Mittwoch, 12. November 2008, 13.00
Aufgabe 29 In Phantasia kommt es zur Stichwahl zwischen den Kandidaten A und
B. Kandidat A hat 1500 treue Anhänger, Kandidat B ist sich der Stimmen seiner 500
Gefolgsleute sicher. Die restlichen 998 000 Wahlberechtigten stimmen unabhängig voneinander mit gleicher Wahrscheinlichkeit für Kandidat A bzw. B. Schätzen Sie durch
Normalapproximation die Wahrscheinlichkeit dafür ab, dass Kandidat A die Stichwahl
gewinnt.
Aufgabe 30 Zeigen Sie durch Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes (Satz 5.5) auf
eine Folge unabhängiger, zum Parameter 1 Poisson-verteilter Zufallsgrössen die Gleichung
n
X
nk
1
−n
lim e
= .
n→∞
k!
2
k=0
N
R
Aufgabe 31 Sei Xn , n ∈
eine Folge von Zufallsgrössen, so dass für alle x ∈
gilt
limn→∞ P (Xn ≤ x) = Φ(x). Zeigen Sie: Dann gilt für jede beschränkte stetige Funktion
f : → die Beziehung
R R
Z∞
f (y)ϕ(y)dy.
lim E(f (Xn )) =
n→∞
−∞
Aufgabe 32 Sei (Ω, p) ein (diskreter) Wahrscheinlichkeitsraum, sei X eine Zufallsgrösse
auf Ω mit EX < ∞, und sei f : → eine konvexe Funktion. Zeigen Sie:
R R
E[f (X)] ≥ f (EX).
Formuliere eine analoge Aussage, falls f konkav ist.