Serie 09

Übungsaufgaben zur VL EWMS, WS 2015/16
Blatt 9, Abgabe: 05.01.2016, 12 Uhr
34. (2 Punkte)
X1 ∼ U nif orm[−1, 1] und X2 ∼ U nif orm[−1, 1] seien unabhängig.
Berechnen Sie die Dichte von X1 + X2 !
35. (2+2 Punkte)
(i) Eine Zufallsvariable X besitze eine N (µ, σ 2 )-Verteilung.
Berechnen Sie die Dichte von Y = (X − µ)/σ! Welche Verteilung besitzt Y ?
(ii) Ein Betrieb stellt Batterien für grafikfähige Taschenrechner her. Nach Angaben
des Betriebes ist die Lebensdauer einer solchen Batterie N (µ, σ 2 )-verteilt mit
µ = 300 und σ = 15. (Das gilt natürlich nur näherungsweise!) Ein Kontrolleur
entnimmt der laufenden Produktion eine solche Batterie und prüft die Lebensdauer.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer dieser Batterie höchstens
320 Betriebsstunden beträgt! (Hinweis:
Verteilungsfunktion der StanR x Φ sei die
2
dardnormalverteilung, d.h., Φ(x) = −∞ √12π e−t /2 dt.)
Für x = 0, 0.1, 0.2, . . . , 2.0 ist Φ(x) = 0.5000, 0.5398, 0.5793, 0.6179, 0.6554, 0.6915, 0.7257,
0.7580, 0.7881, 0.8159, 0.8413, 0.8643, 0.8849, 0.9032, 0.9192, 0.9332, 0.9452, 0.9554, 0.9641,
0.9713, 0.9772.)
((ii) ist sinngemäß Teil einer Abituraufgabe 2000, Sachsen.)
36. (3+2 Punkte1 )
(Xn )n∈N sei eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen mit Xn ∼ Exp(λ), λ > 0.
(i) Berechnen Sie die Dichte von X1 + · · · + Xk !
(ii) Weiter sei Zt = max{n ≥ 0 : X1 + · · · + Xn ≤ t}.
Zeigen Sie, dass Zt ∼ P oisson(λt) gilt!
(Hinweis: Nutzen Sie, dass P (Zt = k) = P (X1 +· · ·+Xk ≤ t)−P (X1 +· · ·+Xk+1 ≤
t) gilt!)
37. (2 Punkte1 )
In einer Spielshow kann der erfolgreiche Kandidat seinen Preis bestimmen, indem er
auf eine von drei verschlossenen Türen zeigt und dann den dahinter stehenden Preis
bekommt. Vorher hat jemand aus der Redaktion hinter eine rein zufällig gewählte Tür
ein Auto und hinter die beiden anderen Türen je einen Schokoladenweihnachtsmann
gestellt. Der ratlose Kandidat wählt Tür Nummer 1. Daraufhin öffnet der Spielleiter
eine der beiden anderen Türen, hinter der sich ein Weihnachtsmann befindet, und
bietet dem Kandidaten an, bei seiner ursprünglichen Wahl zu bleiben oder die andere
verschlossene Tür zu wählen.
Was soll der Kandidat tun? Begründen Sie Ihre Aussage!
1
36 und 37 sind Zusatzaufgaben. Die Punkte werden angerechnet, erhöhen aber nicht das Soll.