¨Ubungsaufgaben zur VL Stochastik/Einführung in die WT, WS 2016

Übungsaufgaben zur VL Stochastik/Einführung in die WT, WS 2016/17
Blatt 13, Abgabe der mit * gekennzeichneten Aufgaben: 19.01.2017, vor der VL
48.∗ (2 Punkte)
Wir betrachten ein mit Gas gefülltes Gefäß. Es enthält n = 0, 25 · 1023 Moleküle.
Die Bewegung der Gasmoleküle ist irregulär. Daher wird jedes Gasmolekül mit einer
Wahrscheinlichkeit von 1/2 in der linken bzw. rechten Hälfte sein, unabhängig von den
anderen Molekülen. Treffen Sie eine Aussage darüber, mit welcher Wahrscheinlichkeit
der Anteil der Moleküle in der linken Hälfte größer als (1 + 10−8 )/2 ist!
Hinweis: Nutzen Sie die Tschebyscheff-Ungleichung.
49.∗ (2 Punkte)
Ein Betrieb stellt Batterien für grafikfähige Taschenrechner her. Nach Angaben des
Betriebes ist die Lebensdauer einer solchen Batterie N (µ, σ 2 )-verteilt mit µ = 300
und σ = 15. (Das gilt natürlich nur näherungsweise!) Ein Kontrolleur entnimmt der
laufenden Produktion eine solche Batterie und prüft die Lebensdauer.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer dieser Batterie höchstens
320 Betriebsstunden beträgt!
Hinweis: Falls X ∼ N (µ, σ 2 ), so ist Y := (X −µ)/σ standardnormalverteilt.
Φ die
R x 1Falls
−t2 /2
√
dt,
Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist, d.h., Φ(x) = −∞ 2π e
so gilt für x = 0, 0.1, 0.2, . . . , 2.0:
Φ(x) = 0.5000, 0.5398, 0.5793, 0.6179, 0.6554, 0.6915, 0.7257, 0.7580, 0.7881, 0.8159, 0.8413,
0.8643, 0.8849, 0.9032, 0.9192, 0.9332, 0.9452, 0.9554, 0.9641, 0.9713, 0.9772.
(Sinngemäß Teil einer Abituraufgabe.)
50.∗ (1 Punkt)
Es sei X ∼ N (µ, σ 2 ). Berechnen Sie die Dichte von Y = eX !
51.∗ (2 Punkte)
X sei eine Zufallsvariable mit Dichte p, wobei p(u) = 0 für alle u < 0.
Zeigen Sie, dass für alle > 0
P (X ≥ ) ≤
gilt!
EX