Zusatzblatt 1

Aufgaben zur Vorlesung
Mathematik für Naturwissenschaften, Teil 2
Zusatzblatt 1
SS 11
PD. Dr. J. Schürmann
keine Abgabe
Aufgabe 1: Es wird viermal eine Karte aus einem Skatspiel (32 Karten) gezogen und wieder
in das Deck gemischt. Ein Testkandidat soll nun sagen, welche Karten gezogen wurden und wie
oft diese gezogen wurden.
a) Wieviele mögliche Antworten gibt es?
b) Wieviele Möglichkeiten gibt es, dass vier verschieden Karten gezogen wurden?
Aufgabe 2: a) Wieviele Möglichkeiten gibt es, eine acht-elementige Menge in eine zwei-elementige
und drei zwei-elementige Mengen zu zerlegen?
b) Die Wahrscheinlichkeit, eine Krankheit mit einer gegebenen Therapie zu heilen sei 30%. Weiterhin können bei nichtgeheilten Patienten Nebenwirkungen auftreten. In insgesamt 10% aller
Fälle treten diese Nebenwirkungen auf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 4 Patienten genau zwei geheilt werden und bei genau einem eine Nebenwirkung auftritt?
Aufgabe 3: Wir betrachten eine Poisson-Verteilung mit dem Parameter λ = 2. Für welche
der Zahlen n = 2, 3, 4, 5 ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis {0, 1, . . . , n} über 70 %?
Aufgabe 4: Welche der folgenden Aussagen sind wahr oder falsch?
a) Beim Würfeln mit zwei Würfeln sind die Ereignisse “Mindestens eine 1” und “die Augensumme ist größer als 3” stochastisch unabhängig?
b) Bei einem Laplace-Experiment sind je zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig?
Aufgabe 5: Ein Lachs schwimmt einen Bachlauf hinauf und muss dazu einen kleinen Sturz
überwinden. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er den Sturz bei einem Sprung überwindet, liege bei p = 0, 3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Fisch mindestens zweimal,
aber höchstens viermal springen muss, um den Sturz zu überwinden?
Aufgabe 6: Wie groß ist beim Würfeln mit zwei Würfeln die bedingte Wahrscheinlichkeit
p(A|B) für die Ereignisse
A = {(i, j)| i ≤ 3} und B = {(i, j)| |i − j| ≥ 2} ?
Aufgabe 7: Sie würfeln mit 2 verschiedenen Würfeln in einem Würfelbecher.
(a) Die Wahrscheinlichkeit bei einem Wurf die Augensumme 3 oder 4 zu erzielen ist:
(
6
36
)
(
5
36
)
(
5
12
)
(b) Die Wahrscheinlichkeit bei 10 Würfen mindestens einmal die Augensumme 11 zu erzielen
ist:
(
)
34
36
10
(
1−
)
35
36
10
(
)
10
1−
34
36
)
6 · 12
Aufgabe 8: Sie haben 6 verschiedene Moleküle.
(a) Wie viele Molekülketten der Länge 12 kann man hiermit bilden?
(
)
12
6
(
)
612
(
(b) Wie viele Molekülketten der Länge 3 kann man hiermit bilden, wenn in jeder Kette kein
Molekül doppelt vorkommt?
(
)
6
3
(
)
63
(
)
6·5·4
Aufgabe 9: Von 60 Labormäusen sind 20 erkrankt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei
einer Stichprobe von 10 Mäusen 3 kranke zu finden?
(
)
203 · 407
6010
(
)
40
20
·
7
3
60
10
(
)
10 3
·
60 20
Aufgabe 10: Es sei (Ω, p) eine Laplace-Verteilung. Welche der folgenden Aussagen sind richtig
für alle E1 , E2 ⊂ Ω ?
()
p(E1 ∪ E2 ) = p(E1 ) + p(E2 )
()
p(E1 ) ≤ p(E2 )
für E1 ⊂ E2
()
p(E1 ∪ E2 ) = p(E1 ) + p(E2 ) − p(E1 ∩ E2 )
2