Mathematik für Naturwissenschaften, Teil 2

Lösungsvorschläge für die Aufgaben zur Vorlesung
Mathematik für Naturwissenschaften, Teil 2
Zusatzblatt 1
SS 09
Dr. J. Schürmann
keine Abgabe
Aufgabe 1: Es wird viermal eine Karte aus einem Skatspiel (32 Karten) gezogen und wieder
in das Deck gemischt. Ein Testkandidat soll nun sagen, welche Karten gezogen wurden und wie
oft diese gezogen wurden.
a) Wieviele mögliche Antworten gibt es?
b) Wieviele Möglichkeiten gibt es, dass vier verschieden Karten gezogen wurden?
Lösung: a) Ohne Reihenfolge, mit Wiederholungen
35 · 34 · 33 · 32
32 + 4 − 1
35
⇒
=
=
= 52360 .
4
4
4·3·2·1
b) Ohne Reihenfolge, ohne Wiederholungen
32 · 31 · 30 · 29
32
= 35960 .
=
⇒
4
4·3·2·1
Aufgabe 2: a) Wieviele Möglichkeiten gibt es, eine acht-elementige Menge in eine zwei-elementige
und drei zwei-elementige Mengen zu zerlegen?
b) Die Wahrscheinlichkeit, eine Krankheit mit einer gegebenen Therapie zu heilen sei 30%. Weiterhin können bei nichtgeheilten Patienten Nebenwirkungen auftreten. In insgesamt 10% aller
Fälle treten diese Nebenwirkungen auf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 4 Patienten genau zwei geheilt werden und bei genau einem eine Nebenwirkung auftritt?
Lösung: a) Die Anzahl der Möglichkeiten, eine acht-elementige Menge in eine zwei-elementige
und drei zwei-elementige Mengen zu zerlegen, ist
8!
8·7·6·5·4·3
8
=
=
= 3360 .
2; 2; 2; 2
2! · 2! · 2! · 2!
23
Hier war ein Tipfehler, gemeint war eigentlich: Die Anzahl der Möglichkeiten, eine acht-elementige
Menge in eine zwei-elementige und zwei drei-elementige Mengen zu zerlegen, ist
8!
8·7·6·5·4
8
=
=
= 560 .
2; 3; 3
2! · 3! · 3!
2·3·2
b) Bei einem Patienten gibt es 3 mögliche Ausgänge der Therapie: 1) geheilt (mit p1 = 0, 3), 2)
Nebenwirkung (mit p2 = 0, 1) und 3) unverändert (mit p3 = 0, 6). Die Wahrscheinlichkeit, dass
unter 4 Patienten genau zwei geheilt werden und bei genau einem eine Nebenwirkung auftritt,
wird somit durch eine Multinomial-Verteilung beschrieben:
4·3·2·1
4
⇒
· 0, 32 · 0, 11 · 0, 61 =
· 0, 09 · 0, 1 · 0, 6 = 0, 0648 .
2; 1; 1
2
Aufgabe 3: Wir betrachten eine Poisson-Verteilung mit dem Parameter λ = 2. Für welche der
Zahlen n = 2, 3, 4, 5 ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis {0, 1, . . . , n} über 70 %?
Lösung: Eine Poisson-Verteilung zum Parameter λ ist gegeben durch
p(i) =
λi −λ
·e
i!
für i ∈ N0 .
Mit λ = 2 ergeben sich die folgenden Werte:
i=
p(i) =
0
1
2
3
4
5
0,135
0,27
0,27
0,18
0,09
0,036
Somit ist
p({0, 1, 2}) = 0, 135 + 0, 27 + 0, 27 = 0, 675 < 0, 7
und
p({0, 1, 2, 3}) = 0, 135 + 0, 27 + 0, 27 + 0, 18 = 0, 855 > 0, 7 .
Also ist für die Zahlen n = 3, 4, 5 die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis {0, 1, . . . , n} über 70 %.
Aufgabe 4: Welche der folgenden Aussagen sind wahr oder falsch?
a) Beim Würfeln mit zwei Würfeln sind die Ereignisse “Mindestens eine 1” und “die Augensumme ist größer als 3” stochastisch unabhängig?
b) Bei einem Laplace-Experiment sind je zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig?
Lösung: a) Es handelt sich um eine Laplace-Verteilung auf Ω = {1, . . . , 6}2 mit |Ω| = 62 = 36.
Ac = { keine 1 } ⇒ |Ac | = 52 = 25 ⇒ p(A) = 1 − p(Ac ) = 1 −
25
11
=
.
36
36
Ebenso ist B c = { Augensumme ≤ 3 } = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}
⇒ |B c | = 3 ⇒ p(B) = 1 − p(B c ) = 1 −
3
11
=
.
36
12
Weiter ist
A ∩ B = {(1, j)| j = 3, . . . , 6 } ∪ {(i, 1)| i = 3, . . . , 6 } ⇒ p(A ∩ B) =
2·4
2
= .
36
9
Somit sind A und B stochastisch abhängig, da
p(A ∩ B) =
11 11
2
6=
·
= p(A) · p(B) .
9
36 12
b) Diese Aussage ist falsch, denn für A 6= ∅ =
6 B mit A ∩ B = ∅ ergibt sich
p(A ∩ B) = P (∅) = 0 < p(A) · p(B) =
|A| |B|
·
.
|Ω| |Ω|
Aufgabe 5: Ein Lachs schwimmt einen Bachlauf hinauf und muss dazu einen kleinen Sturz
überwinden. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er den Sturz bei einem Sprung überwindet, liege bei p = 0, 3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Fisch mindestens zweimal,
aber höchstens viermal springen muss, um den Sturz zu überwinden?
2
Lösung: Hier handelt es sich um eine geometrische Verteilung. Die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass der Fisch den Sturz im i-ten Versuch überwindet (i ∈ N), ist somit gegeben durch
p(i) = λ · (1 − λ)i−1 = 0, 3 · 0, 7i−1 .
Folglich ist
p({2, 3, 4}) = 0, 3 · (0, 7 + 0, 72 + 0, 73 ) = 0, 3 · 1, 533 = 0, 4599 ' 0, 46 .
Aufgabe 6: Wie groß ist beim Würfeln mit zwei Würfeln die bedingte Wahrscheinlichkeit
p(A|B) für die Ereignisse
A = {(i, j)| i ≤ 3} und B = {(i, j)| |i − j| ≥ 2} ?
Lösung: Es ist p(A|B) =
|Ω| = 63 = 36. Es ist
p(A∩B)
p(B) .
Hierbei ist p eine Laplaceverteilung auf Ω = {1, . . . , 6}2 mit
B c = {(i, j)| |i − j| ≤ 1} = {i = j} ∪ {i = j + 1| 1 ≤ j ≤ 4} ∪ {i = j − 1| 2 ≤ j ≤ 6} .
Somit ergibt sich
p(B) = 1 − p(B c ) = 1 −
16
5
6+5+5
=1−
= .
36
36
9
Nun ist aber
A ∩ B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 5), (3, 6)} .
Somit ergibt sich
p(A ∩ B) =
10
5
5 9
9
1
=
⇒ p(A|B) =
· =
= .
36
18
18 5
18
2
Aufgabe 7: Sie würfeln mit 2 verschiedenen Würfeln in einem Würfelbecher.
(a) Die Wahrscheinlichkeit bei einem Wurf die Augensumme 3 oder 4 zu erzielen ist:
(
)
6
36
(X)
5
36
(
)
5
12
Lösung: Da p eine Laplaceverteilung auf Ω = {1, . . . , 6}2 mit |Ω| = 63 = 36 und E =
{(1, 2), (2, 1), (3, 1), (2, 2), (1, 3)} ist.
(b) Die Wahrscheinlichkeit bei 10 Würfen mindestens einmal die Augensumme 11 zu erzielen
ist:
(
)
34
36
10
(
1−
)
35
36
10
(X)
1−
Lösung: Da p eine Laplaceverteilung auf Ω0 = Ω10 mit |Ω0 | = 3610 und
E c = { kein mal (5, 6) oder (6, 5) } mit |E c | = (36 − 2)10 = 3410 ist.
3
34
36
10
Aufgabe 8: Sie haben 6 verschiedene Moleküle.
(a) Wie viele Molekülketten der Länge 12 kann man hiermit bilden?
(
)
12
6
(X)
612
(
6 · 12
)
Lösung: Mit Reihenfolge, mit Wiederholungen.
(b) Wie viele Molekülketten der Länge 3 kann man hiermit bilden, wenn in jeder Kette kein
Molekül doppelt vorkommt?
(
)
6
3
(
)
63
(X)
6·5·4
Lösung: Mit Reihenfolge, ohne Wiederholungen.
Aufgabe 9: Von 60 Labormäusen sind 20 erkrankt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei
einer Stichprobe von 10 Mäusen 3 kranke zu finden?
(
)
203 · 407
6010
(X)
20
40
·
3
7
60
10
(
)
10 3
·
60 20
Lösung: Es handelt sich um eine Laplace-Verteilung, wobei
60
|Ω| =
10
ist, da dieses der Auswahl von 10 Elementen ohne Reihenfolge und ohne Wiederholungen aus
einer 60 elementigen Menge entspricht. Analog ist die Anzahl der Möglichkeiten, 3 Mäuse aus
den 20 Kranken auszuwählen, gegeben durch
20
.
3
Schliesslich ist die Anzahl der Möglichkeiten, 10 − 3 = 7 Mäuse aus den 60 − 20 = 40 Gesunden
auszuwählen, gegeben durch
40
.
7
Aufgabe 10: Es sei (Ω, p) eine Laplace-Verteilung. Welche der folgenden Aussagen sind richtig
für alle E1 , E2 ⊂ Ω ?
()
p(E1 ∪ E2 ) = p(E1 ) + p(E2 )
(X)
p(E1 ) ≤ p(E2 )
für E1 ⊂ E2
(X)
p(E1 ∪ E2 ) = p(E1 ) + p(E2 ) − p(E1 ∩ E2 )
4