Blatt 8 - Lehrstuhl für Informatik 12

Rolf Wanka
Erlangen, 15. Juli 2011
Übungen zur Vorlesung
Approximationsalgorithmen
SS 2011
Blatt 8
AUFGABE 23:
Sei G = (V, E) ein Graph, V = {u1 , . . . , un }.
Zur Erinnerung: Eine Knotenüberdeckung (engl.: vertex cover) von G ist eine Knotenmenge C ⊆ V , so daß
/ Beim Optimierungsproblem VC soll eine kleinste Knofür jede Kante {ui , u j } ∈ E gilt: {ui , u j } ∩ C 6= 0.
tenüberdeckung bestimmt werden.
(a) Erläutern Sie, warum das folgende ILP eine Arithmetisierung von VC ist.
G ANZZAHLIGES LINEARES P ROGRAMM F ÜR VC:
n
minimiere
∑ xi
i=1
gemäß
xi + x j ≥ 1
∀{ui , u j } ∈ E
xi ∈ {0, 1}
∀ui ∈ V
(b) Zeigen Sie, daß deterministisches Runden der Lösung des relaxierten Problems, d. h. die Entscheidung
falls xi ≥ 21 , dann lege Knoten ui in C “, eine Approximation der relativen Güte 2 garantiert. Zuerst
”
muß dazu gezeigt werden, daß durch diese Rundungsvorschrift überhaupt eine Knotenüberdeckung
gewonnen wird.
AUFGABE 24:
Betrachten Sie noch einmal das Knotenüberdeckungsproblem VC und das ILP aus Aufgabe 25.
Ersetzen Sie die Nebenbedingungen xi ∈ {0, 1}“ durch die weicheren Nebenbedingungen 0 ≤ xi ≤ 1“.
”
”
Nehmen Sie nun an, daß das relaxierte LP in Polynomzeit gelöst worden ist. Betrachten Sie den folgenden
Algorithmus, der durch randomisiertes Runden eine mögliche Lösung X berechnet.
A LGORITHMUS R AND ROUND VC
X := 0/ ;
for i := 1 to |V | do
mit Wahrscheinlichkeit xi : lege Knoten ui nach X ;
gib X aus.
Als Rundungswahrscheinlichkeit wird also (erst einmal) die Identität benutzt, die wir ja auch schon bei
MaxSAT angewandt hatten.
(a) Sei {ui , u j } ∈ E. Zeigen Sie: Pr[{ui , u j } wird von R AND ROUND VC überdeckt] ≥ 34 .
Hinweis: Betrachten Sie die Gegenwahrscheinlichkeit und nutzen Sie Fakt 6.10(a): Für ai ≥ 0 gilt:
1 k k
k
a
≤
∏ i k · ∑ ai .
i=1
i=1
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß X eine Knotenüberdeckung ist?
(c) Ersetzen Sie die Wahrscheinlichkeit xi durch min{1, r · xi } für r ∈ IR+ und berechnen Sie nun
Pr[{ui , u j } wird von R AND ROUND VC überdeckt] .
Berechnen Sie E[|X |]. Welche Wahl für r ist die beste?