Arbeitsblatt 5: Das Geburtstagsparadoxon – Herleitung

Arbeitsblatt 5: Das Geburtstagsparadoxon – Herleitung einer
Berechnungsformel
Da 𝑃(𝐸) = 1 − 𝑃(𝐸‘) gilt, müssen wir zuerst die Gegenwahrscheinlichkeit des
Ereignisses berechnen.
E: Mindestens zwei von n Personen haben den gleichen
Ereignis:
Geburtstag
Gegenereignis:
Geburtstag
E‘: Alle n Personen haben an unterschiedlichen Tagen
Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit:
Angenommen wir haben eine Urne, in der Kugeln mit den Nummern von 1 bis 365
liegen.
Dabei steht jede Zahl für einen bestimmten Tag. 1 steht für den 1.Jänner, 2 für den
2.Jänner, …, und 365 steht für den 31.Dezember. n Personen ziehen nun der Reihe
nach eine Kugel (eine Zahl) und legen diese dann wieder zurück.
Wir wollen uns nun die Wahrscheinlichkeit überlegen, dass bei n Personen alle
Personen eine unterschiedliche Zahl gezogen haben (das entspricht der
Gegenwahrscheinlichkeit vom Geburtstagsproblem). Die folgende Grafik zeigt ein
Baumdiagramm für 𝑛 = 4 Personen:
Überlege dir die folgenden Berechnungen und versuche anschließend eine
allgemeine Rechenvorschrift für n Personen anzuschreiben.
Wahrscheinlichkeit von 4 unterschiedlichen Zahlen:
365 364
∙
365 365
∙
363 362
∙
365 365
=
365∙(365−1)∙(365−2)∙(365−3)
3654
Wahrscheinlichkeit von 5 unterschiedlichen Zahlen:
365 364
∙
365 365
∙
363 362 361
∙
∙
365 365 365
=
365∙(365−1)∙(365−2)∙(365−3)∙(365−4)
3655
Wahrscheinlichkeit von 6 unterschiedlichen Zahlen:
365 364
∙
365 365
∙
363 362 361 360
∙
∙
∙
365 365 365 365
=
365∙(365−1)∙(365−2)∙ … ∙(365−5)
3656
Wie lautet die Rechenvorschrift der Gegenwahrscheinlichkeit bei n Personen?
∙
∙
∙
365 365 365 365
∙ …∙
365
=
Kannst du die Rechenvorschrift auch mit dem Produktsymbol ∏ anschreiben?
Hinweis:
1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ 𝑛 = ∏𝑛𝑖=1 𝑖
Es gilt
und somit für 𝑛 = 4:
365∙(365−1)∙(365−2)∙(365−3)
3654
=
∏3𝑖=0 365−𝑖
3654
Wahrscheinlichkeit, dass bei n Personen jede/r eine Zahl (von 1 bis 365) zieht, die
zuvor noch nicht vorgekommen ist:
𝑃(𝐸′) =
∏
Die Formel für die Wahrscheinlichkeit 𝑃(𝐸) lautet also:
𝑃(𝐸) =