Arbeitsblatt 5: Das Geburtstagsparadoxon – Herleitung

Arbeitsblatt 5: Das Geburtstagsparadoxon – Herleitung einer
Berechnungsformel
Da
gilt, müssen wir zuerst die Gegenwahrscheinlichkeit des
Ereignisses berechnen.
Ereignis:
Geburtstag
Gegenereignis:
Geburtstag
Mindestens zwei von
Personen haben den gleichen
Alle n Personen haben an unterschiedlichen Tagen
Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit:
Angenommen wir haben eine Urne, in der Kugeln mit den Nummern von 1 bis 365
liegen.
Dabei steht jede Zahl für einen bestimmten Tag. 1 steht für den 1.Jänner, 2 für den
2.Jänner, …, und 365 steht für den 31.Dezember. n Personen ziehen nun der Reihe
nach eine Kugel (eine Zahl) und legen diese dann wieder zurück.
Wir wollen uns nun die Wahrscheinlichkeit überlegen, dass bei n Personen alle
Personen eine unterschiedliche Zahl gezogen haben (das entspricht der
Gegenwahrscheinlichkeit vom Geburtstagsproblem). Die folgende Grafik zeigt ein
Baumdiagramm für
Personen:
Überlege dir die folgenden Berechnungen und versuche anschließend eine
allgemeine Rechenvorschrift für n Personen anzuschreiben.
Wahrscheinlichkeit von 4 unterschiedlichen Zahlen:
Wahrscheinlichkeit von 5 unterschiedlichen Zahlen:
Wahrscheinlichkeit von 6 unterschiedlichen Zahlen:
Wie lautet die Rechenvorschrift der Gegenwahrscheinlichkeit bei n Personen?
Kannst du die Rechenvorschrift auch mit dem Produktsymbol
Hinweis:
anschreiben?
Es gilt
und somit für
:
Wahrscheinlichkeit, dass bei n Personen jede/r eine Zahl (von 1 bis 365) zieht, die
zuvor noch nicht vorgekommen ist:
Die Formel für die Wahrscheinlichkeit
lautet also: