∑ ∑ ∑ xi + ∑ - Informatik 12

Rolf Wanka
Erlangen, 15. Juni 2014
Übungen zur Vorlesung
Approximationsalgorithmen
SS 2014
Blatt 8
AUFGABE 20:
Sei G = (V, E) ein Graph, V = {u1 , . . . , un }.
Zur Erinnerung: Eine Knotenüberdeckung (engl.: vertex cover) von G ist eine Knotenmenge C ⊆ V , so daß für je/ Beim Optimierungsproblem VC soll eine kleinste Knotenüberdeckung
de Kante {ui , u j } ∈ E gilt: {ui , u j } ∩ C 6= 0.
bestimmt werden.
(a) Erläutern Sie, warum das folgende ILP eine Arithmetisierung von VC ist.
G ANZZAHLIGES LINEARES P ROGRAMM F ÜR VC:
n
minimiere
∑ xi
i=1
gemäß
xi + x j ≥ 1
∀{ui , u j } ∈ E
xi ∈ {0, 1}
∀ui ∈ V
(b) Zeigen Sie, daß deterministisches Runden der Lösung des relaxierten Problems, d. h. die Entscheidung falls
”
xi ≥ 21 , dann lege Knoten ui in C “, eine Approximation der relativen Güte 2 garantiert. Zuerst muß dazu gezeigt
werden, daß durch diese Rundungsvorschrift überhaupt eine Knotenüberdeckung gewonnen wird.
AUFGABE 21:
In der Vorlesung wurde aus der Lösung des relaxierten ILP Brel für Max-SAT durch randomisierten Runden eine
zulässige Lösung der Eingabeformel Φ berechnet.
R ELAXIERTES LINEARES P ROGRAMM Brel F ÜR Max-SAT:
m
maximiere
∑ Ẑ j
j=1
gemäß
∑
xi ∈S j
x̂i +
∑ (1 − x̂i ) ≥ Ẑ j
∀j
xi ∈S j
0 ≤ x̂i , Ẑ j ≤ 1
∀i, j
Das Runden erfolgte durch lineares randomisiertes Runden, d. h. der berechnete Wert x̂i wurde als Wahrscheinlichkeit
benutzt, die Boolesche Variable xi auf T RUE zu setzen. Wir hatten also mit π(x) = x gerundet:
R ANDOMIZED ROUNDING[π]:
for i := 1 to n do
mit Wahrscheinlichkeit π(x̂i ):
xi := T RUE ;
mit Wahrscheinlichkeit 1 − π(x̂i ): xi := FALSE.
Jetzt fordern wir, daß für die Funktion π : [0, 1] → [0, 1] gilt: 1 − 4−x ≤ π(x) ≤ 4x−1
(a) Zeigen Sie, daß die Verwendung einer derartigen Funktion π eine erwartete relative Güte von 4/3 garantiert.
Hinweis: Folgen Sie erneut dem Verlauf der Beweise der Lemmata 6.4 und 6.11. Außerdem benötigen Sie vermutlich erneut die folgende Beziehung über konkave Funktionen (die Funktion g(z) = 1 − 4−z ist konkav), um
Ẑ j zu befreien“: Wenn die Funktion f (x) auf dem Intervall [a, b] konkav ist und gilt, daß f (a) ≥ ma + n und
”
f (b) ≥ mb + n ist, dann gilt für alle x ∈ [a, b]: f (x) ≥ mx + n.
(b) Geben Sie eine lineare Funktion f (x) = mx + n an, die die erforderte Eigenschaft besitzt.
Hinweis: Vielleicht sollten Sie die beiden Grenzfunktionen einmal plotten.