¨Ubung zur Vorlesung Statistik I WS 2014

Übung zur Vorlesung Statistik I
WS 2014-2015
Übungsblatt 2
27. Oktober 2014
Aufgabe 3 (4 Punkte): Geben Sie für den Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P)
mit
Ω = {A, B, C}
und
P(A) = 0.1, P(B) = 0.85
alle Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeiten an.
Lösung:
E1 = ∅,
E2 = {A},
E3 = {B},
E4 = {C},
E5 = {A, B},
E6 = {A, C},
E7 = {B, C},
E8 = Ω,
P(E1 ) = 0
P(E2 ) = 0.1
P(E3 ) = 0.85
P(E4 ) = 0.05
P(E5 ) = 0.95
P(E6 ) = 0.15
P(E7 ) = 0.9
P(E8 ) = 1
Aufgabe 4 (4 Punkte): In einem Wahrscheinlichkeitsraum
Ω = {1, 2, 3, 4}
gelte P({1, 2, 3}) = 4/5, P({1, 3}) = 1/2 und P({1, 4}) = 1/2. Bestimmen Sie
die Wahrscheinlichkeitsverteilung P, indem Sie die Wahrscheinlichkeiten für
die vier Elementarereignisse angeben.
Lösung: Aus P({1, 2, 3}) = 4/5 folgt P({4}) = 1/5 und mit P({1, 4} = 1/2
weiter P({1}) = 1/2 − 1/5 = 3/10. Daraus wiederum folgt mit P({1, 3} = 1/2,
dass P({3}) = 1/5 gilt. Aus P({1, 2, 3}) = 4/5 kann dann P({2}) = 4/5 −
3/10 − 1/5 = 3/10 geschlossen werden.
Aufgabe 5 (4 Punkte):
A
Beim Lotto “6 aus 49“ werden zufällig sechs Kugeln aus 49 ohne Zurücklegen gezogen.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten von k = 0, 1, . . . , 6 Richtigen.
Berechnen Sie mit R explizit die sieben Wahrscheinlichkeiten.
B
Bei einer anderen Lotterie werden auch 6 aus 49 Kugeln ohne Zurücklegen
gezogen. Es soll nun die Reihenfolge der Ziehung eine Rolle spielen. Eine
Kugel gilt nur dann als Richtige, wenn neben ihrer Zahl auch noch ihre
Position in der Ziehung erraten wurde.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für k = 6 Richtige nach dieser
verschärften Regel.
Lösung:
A
Da der Wahrscheinlichkeitsraum, der die Lotterie “6 aus 49“ beschreibt,
ein Laplaceraum ist, müssen nur die Anzahl der Elemente des Ereignisses
“genau k Richtige“ (die günstigen Fälle) bestimmt werden.
Diese Anzahl
49
geteilt durch alle Möglichkeiten (laut Vorlesung 6 ) ergibt die gesuchte
Wahrscheinlichkeit.
Um die günstigen Fälle zu ermitteln, überlegt man sich, auf wie viele
Möglichkeiten man k Kugeln aus den sechs Richtigen und auf wie viele
Möglichkeiten man 6 − k Kugeln aus den 43 “Nieten“ ziehen kann. Die
Lösung beider
Vorlesung
bekannt: Man
Teilprobleme ist schon aus der 43
6
kann auf k Weisen k aus 6 Kugeln und auf 6−k Weisen 6 − k Kugeln
aus 43 Kugeln ziehen. Da jede Möglichkeit k aus 6 Kugeln mit jeder
Möglichkeit 6 − k aus 43 Kugeln zu ziehen kombiniert werden kann, gibt
es insgesamt
6
43
k
6−k
günstige Fälle. Die Wahrscheinlichkeit für genau k Richtige ist daher
43 6
k
6−k
49
6
Explizite Werte erhält man mit
> for(k in 0:6) print(choose(6,k)*choose(43,6-k)/choose(49,6))
[1]
[1]
[1]
[1]
[1]
[1]
[1]
B
0.435965
0.4130195
0.132378
0.0176504
0.0009686197
1.84499e-05
7.151124e-08
Da die Reihenfolge der Ziehung nun eine Rolle spielt, gibt es insgesamt
> 49*48*47*46*45*44
[1] 10068347520
Möglichkeiten. Bei k = 6 Richtigen, müssen nun alle sechs Positionen mit
den richtigen Kugeln an den Richtigen Stellen besetzt werden. Hierfür
gibt es genau eine Möglichkeit. Die Wahrscheinlichkeit für einen SSechser”nach der verschärften Regel ist daher
> 1/(49*48*47*46*45*44)
[1] 9.932116e-11
Aufgabe 6 (4 Punkte): Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für
A
einen Sechser
B
eine Straße (sechs verschiedene, Reihenfolge spielt keine Rolle)
C
einen Zwilling aus Einsen (=genau zwei der sechs Würfe sind eine Eins,
alle anderen sind nicht Eins und verschieden),
wenn ein fairer Würfel sechs mal geworfen wird. Man nehme an, dass die sechs
Würfe unabhängig voneinander erfolgen.
Lösung:
A
Für das Erreichen eines Sechsers, sind für den ersten Wurf alle sechs
Möglichkeiten erlaubt. Die fünf folgenden liegen aber nach dem ersten
Wurf fest. Es gibt also genau fünf Möglichkeiten, einen Sechser zu würfeln. Da es insgesamt 66 mögliche gleichwahrscheinliche Ausgänge gibt,
beträgt die Wahrscheinlichkeit 6/66 .
> 1/6^5
[1] 0.0001286008
B
Bei einer Straße hat man für den ersten Wurf 6 Möglichkeiten, für den
zweiten 5 usw. Insgesamt stehen also 6! günstigen Fällen 66 Fälle insgesamt gegenüber.
> factorial(6)/6^6
C
[1] 0.0154321
Es gibt 62 = 15 Möglichkeiten, die zwei Einsen auf die sechs Positionen zu verteilen. Auf die verbleibenden vier Positionen müssen nun vier
verschiedene Zahlen aus 2 bis 6 verteilt werden. Insgesamt gibt es also
15 ∗ 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 = 1800
Möglichkeiten. Da es insgesamt 66 Möglichkeiten gibt, ist die gesuchte
Wahrscheinlichkeit
> 1800/6^6
[1] 0.03858025
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