Aufgabe 1: a) Gegeben ist die Summe

Rainer Roos
FH Karlsruhe Fachbereich WI
am 29.1.2003
Klausur in Statistik, Teil Wahrscheinlichkeitsrechnung
Zum Erreichen der Note 4.0 sind 20 Punkte hinreichend, zum Erreichen von 1.0 40 Punkte (in
der Teilklausur).
Aufgabe 1:
a) Aus den Zahlen 1 bis 10 werden zwei Zahlen zufällig ausgewählt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten von A = {beide Zahlen sind gerade} und B =
{die Summe der Zahlen ist gerade}.
( 6 P)
b) Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten werden 4 Karten zufällig entnommen. Berechnen
Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: Ci = {genau i Asse unter den
entnommenen Karten}, i = 0, 1, 2, 3, 4. Formellösungen genügen.
( 8 P)
c) Situation wie in b), nur werden die Karten nacheinander entnommen, nach Entnahme
einer Karte wird diese zurückgelegt und neu gemischt.
( 6 P)
Aufgabe 2: Gegeben sind drei Urnen mit unterschiedlichen Anzahlen von roten und weißen
Kugeln: U1: 5 rote und 5 weiße Kugeln, U2: 6 rote und 4 weiße Kugeln, U3: 4 rote und 6 weiße
Kugeln. Eine Urne wird zufällig ausgewählt. Anschließend wird eine Kugel zufällig entnommen.
a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die entnommene Kugel weiß ist?
(4P)
b) Die entnommene Kugel war weiß. Wie hoch ist Wahrscheinlichkeit, dass sie der Urne Ui
entstammt, i = 1, 2, 3?
(6P)
c) Wie oft muss man das Experiment mindestens wiederholen, um mit einer
Wahrscheinlichkeit größer als 0,999 mindestens einmal eine weiße Kugel zu ziehen?( 5
P)
Aufgabe 3:
1
1
1
, P(M\A) = , P(B\A) = . Sind A und
8
8
2
B unabhängig?
( 6 P)
b) Es wird zweimal mit einem idealen Würfel gewürfelt. A gewinnt 7 € von B, wenn die Summe
der Augenzahlen 7 oder 11 beträgt, in jedem anderen Fall muss er 2 € an B zahlen. Ist das
Spiel fair?
( 6 P)
c) Was versteht man unter der a priori-Methode zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten?
( 3 P)
a) A und B seien zufällige Ereignisse mit P(A  B) =
Ich wünsche Ihnen viel Erfolg!
Ergebnisse und Klausureinsicht: 4.2.2003, 12.00
1
Lösungen:
Aufgabe 1:
 10 
a) |M| =    45 ,
2
5
10 2
 .
|A| =    10 , daher P(A) =
45 9
2
Alternativ mit dem Multiplikationssatz:
P(A) = P(gerade)  P(gerade im 2. Zug| 1.Zahl gerade) =
1 4 2
 
2 9 9
2 2 4
 
9 9 9
Alternativ mit dem Multiplikationssatz:
B = A  {beide Zahlen ungerade} =
P(B) = P(1. Zahl beliebig)  P(2. Zahl wie erste Zahl bzg. „gerade“|erste Zahl) = 1 
4 4

9 9
 4   28 
 i 4  i
 (hypergeometrische Verteilung)
b) P(Ci) =   
 32 
4
 
4 i
 4   4   28 
c) P(Ci) =        
(Binomialverteilung)
 i   32   32 
Aufgabe 2:
1 5 4
6
15 1

a) P(w) =  (   ) 
3 10 10 10
30 2
P(w | U i )  P(U i )
b) P(Ui|w) =
nach dem Satz von Bayes. Konkret:
P(w)
1 1
4 1
6 1



1
4
6 2
P(U1|w) = 2 3  , P(U2|w) = 10 3  , P(U3|w) = 10 3   . Die Summe
1
1
1
3
15
15 5
2
2
2
dieser drei Wahrscheinlichkeiten beträgt 1 (als Kontrolle).
c) An = {bei n Versuchen mindestens einmal weiß};
n
1
1
1
P(An) > 0,999  1 - P(An) = P(An ) <
 2n  1000  n  10 .
   
1000
 2  1000
Man muss also mindestens 10 Versuche machen.
i
Aufgabe 3:
a) Aus dem Venndiagramm liest man ab:
2
1 1 1
1
1
; P(B)  ; Test auf Unabhängigkeit: P(A  B) = P(A)  P(B), d.h.   . Das
8 2 4
2
4
stimmt, also sind A und B unabhängig.
P(A) =
b) Es liegt eine Laplace-Situation mit |M| = 36 vor. {A gewinnt} = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3),
8 2
 und P(A verliert) =
(5,2), (6,1), (5,6), (6,5)}, also |A| = 8, P(A gewinnt) =
36 9
2 7
2
7
1   . Der Erwartungswert für A beträgt daher: E = 7   2   0 , das Spiel ist
9 9
9
9
fair.
c) Bei der a-priori-Methode werden Wahrscheinlichkeiten auf Grund einer theoretischen
Annahme bestimmt. Beispiel: Laplace-Methode. Hier wird angenommen, dass die
Elementarereignisse alle gleichwahrscheinlich sind.
3