Stochastik I - Mathematik, TU Dortmund
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TU Dortmund Fakultät für Mathematik Prof. Dr. J. Woerner M. Sc. R. Shevchenko M. Sc. V. Schulmann Sommersemester 2017 Stochastik I Blatt 3 Abgabe der Übungsaufgaben: Montag, 8.05.2017, 13.00 Uhr, in festen Zweiergruppen und getrennt nach Aufgaben (die entsprechenden Briefkastennummern sind im jeweiligen Aufgabenkopf vermerkt). Schreiben Sie unbedingt Ihre Gruppendaten auf jede Abgabe! Aufgabe 1 (4 Punkte, Briefkasten Nr. 25) Sei n ≥ 1 und p ∈ (0, 1). Zeigen Sie, dass die Zähldichte der hypergeometrischen Verteilung HN, K, n für N, K → ∞ punktweise gegen die Zähldichte der Binomial→ p gilt. verteilung Bn, p konvergiert, falls für N, K → ∞ K N Aufgabe 2 (4 Punkte, Briefkasten Nr. 26) Über einen verrauschten Kanal werden binäre Ziffern versendet. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine ’0’ oder ’1’ übertragen werden soll, ist jeweils 0, 5. Die Wahrscheinlichkeit, dass die empfangene Ziffer der versendeten entspricht, ist 0, 9. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine 1 versendet wurde, wenn eine 1 empfangen wurde? b) Es wird nun zur Sicherheit die zu übertragende Ziffer jeweils dreimal verschickt (das heißt, 111 oder 000). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine 1 übertragen werden sollte, wenn 111 empfangen wurde? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine 1 übertragen werden sollte, wenn bekannt ist, dass die Summe der drei empfangenen Ziffern gleich 2 ist? Aufgabe 3 (4 Punkte, Briefkasten Nr. 37) Lewis Carroll hat einst “bewiesen”, dass eine Urne keine zwei gleichfarbigen Kugeln enthalten kann. Die Argumentation verlief wie folgt: Angenommen, eine Urne enthält zwei jeweils schwarz oder weiß gefärbte Kugeln. Bezeichnen wir die beiden Farben mit den Buchstaben S und W und das Ereignis “die erste Kugel hat Farbe X und die zweite Farbe Y” mit XY, so gilt 1 P(SS) = P(SW ) = P(W S) = P(W W ) = . 4 Nun nehmen wir eine schwarze Kugel hinzu, es gilt also 1 P(SSS) = P(SSW ) = P(SW S) = P(SW W ) = . 4 Rechnen Sie nun nach, dass wenn nun eine Kugel aus der Urne gezogen wird, die Wahrscheinlichkeit, dass diese Kugel schwarz ist, 23 betragen wird. Falls von drei Kugeln eine zufällig gezogen wird und die Wahrscheinlichkeit, dass diese Kugel schwarz ist, 32 beträgt, dann müssen in der Urne eine weiße und zwei schwarze Kugeln gewesen sein, also lagen in der Urne ursprünglich eine schwarze und eine weiße Kugel. Was halten Sie von dieser Argumentation? Begründen Sie Ihre Vermutung. Die neuen Übungsblätter, Modalitäten zur Abgabe sowie weitere Informationen zur Veranstaltung finden Sie auf unserer Homepage: www.mathematik.uni-dortmund.de/lsiv/2017Sommer/StochI/index.htm
