Stochastik I - Mathematik, TU Dortmund

Werbung
TU Dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. J. Woerner
M. Sc. R. Shevchenko
M. Sc. V. Schulmann
Sommersemester 2017
Stochastik I
Blatt 3
Abgabe der Übungsaufgaben:
Montag, 8.05.2017, 13.00 Uhr, in festen Zweiergruppen und getrennt nach
Aufgaben (die entsprechenden Briefkastennummern sind im jeweiligen
Aufgabenkopf vermerkt). Schreiben Sie unbedingt Ihre Gruppendaten auf
jede Abgabe!
Aufgabe 1
(4 Punkte, Briefkasten Nr. 25)
Sei n ≥ 1 und p ∈ (0, 1). Zeigen Sie, dass die Zähldichte der hypergeometrischen
Verteilung HN, K, n für N, K → ∞ punktweise gegen die Zähldichte der Binomial→ p gilt.
verteilung Bn, p konvergiert, falls für N, K → ∞ K
N
Aufgabe 2
(4 Punkte, Briefkasten Nr. 26)
Über einen verrauschten Kanal werden binäre Ziffern versendet. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine ’0’ oder ’1’ übertragen werden soll, ist jeweils 0, 5. Die Wahrscheinlichkeit, dass die empfangene Ziffer der versendeten entspricht, ist 0, 9.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine 1 versendet wurde, wenn eine
1 empfangen wurde?
b) Es wird nun zur Sicherheit die zu übertragende Ziffer jeweils dreimal verschickt (das heißt, 111 oder 000). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
eine 1 übertragen werden sollte, wenn 111 empfangen wurde? Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit, dass eine 1 übertragen werden sollte, wenn bekannt
ist, dass die Summe der drei empfangenen Ziffern gleich 2 ist?
Aufgabe 3
(4 Punkte, Briefkasten Nr. 37)
Lewis Carroll hat einst “bewiesen”, dass eine Urne keine zwei gleichfarbigen Kugeln enthalten kann. Die Argumentation verlief wie folgt: Angenommen, eine Urne
enthält zwei jeweils schwarz oder weiß gefärbte Kugeln. Bezeichnen wir die beiden
Farben mit den Buchstaben S und W und das Ereignis “die erste Kugel hat Farbe
X und die zweite Farbe Y” mit XY, so gilt
1
P(SS) = P(SW ) = P(W S) = P(W W ) = .
4
Nun nehmen wir eine schwarze Kugel hinzu, es gilt also
1
P(SSS) = P(SSW ) = P(SW S) = P(SW W ) = .
4
Rechnen Sie nun nach, dass wenn nun eine Kugel aus der Urne gezogen wird, die
Wahrscheinlichkeit, dass diese Kugel schwarz ist, 23 betragen wird. Falls von drei
Kugeln eine zufällig gezogen wird und die Wahrscheinlichkeit, dass diese Kugel
schwarz ist, 32 beträgt, dann müssen in der Urne eine weiße und zwei schwarze
Kugeln gewesen sein, also lagen in der Urne ursprünglich eine schwarze und eine
weiße Kugel.
Was halten Sie von dieser Argumentation? Begründen Sie Ihre Vermutung.
Die neuen Übungsblätter, Modalitäten zur Abgabe sowie weitere
Informationen zur Veranstaltung finden Sie auf unserer Homepage:
www.mathematik.uni-dortmund.de/lsiv/2017Sommer/StochI/index.htm
Herunterladen
Explore flashcards